两个三阶矩阵相乘

矩阵向量乘法

我们之前介绍了矩阵的加法和矩阵与标量的乘法。除此之外，矩阵还可以与矩阵或向量相乘。本节我们讨论一种特殊情况：矩阵与 向量 的乘法。

如下图所示，一个 3×2 的矩阵与一个二维列向量相乘，结果是什么？

其计算规则如下图所示：

从上图可以看出，矩阵与向量的乘法规则很独特，一个矩阵与一个向量相乘得到一个新的列向量。列向量的维度等于矩阵的行数。等式左边的矩阵和向量的形状也值得注意，矩阵的列数必须等于向量的维度，才能进行矩阵与向量的乘法。在上面的例子中，一个 3×2 的矩阵与一个 2×1 的向量相乘，得到一个 3×1 的向量。

我们将上述特例抽象成更通用的形式，如下图所示：

一个 m×n 的矩阵乘一个 n×1 的向量，需要注意的是，矩阵的列数必须等于向量的行数才能相乘，得到的结果是一个 m×1 的向量。

值得注意的是，矩阵和向量的乘法顺序非常重要。列向量和矩阵相乘时，矩阵必须在前面，列向量必须在后面。例如：

那么，为什么我们要引入矩阵和向量的乘法呢？

我们仍然以卖房子的例子为例。假设我有四套房子，每个房子的面积不同，并且我已经确定了房屋面积和房屋售价之间的线性模型。

如下图所示：

上图中，如果将左边四套房子的面积代入右边的式子中，就可以分别得到四套房子的售价。如果我们使用矩阵和向量的乘法来表示上述问题，可以得到一个非常简洁的表达式。如下图所示：

我们把模型中的两个参数提取出来，组成一个列向量。由于参数 -40 对应于 1，而 0.25 对应于 x，因此得到一个 4×2 的矩阵，其中第 1 列都是 1。我们将得到上半部分所示的矩阵与向量相乘的表达式。利用之前介绍的矩阵与向量乘法规则，我们可以用一个表达式表示四套房子的售价，简洁明了。

有的同学可能会觉得这种写法过于繁琐。需要注意的是，我们现在使用计算机执行基本运算。如果使用代码编写这样的过程会更加容易。只需一行代码就可以完成这项任务，而且房子的数量不会影响程序的结构，非常方便。如果没有这样的规则，我们可能需要在代码中使用 for 循环来实现它，这会更加复杂。

在下一讲中，我们将介绍更通用的矩阵与矩阵的乘法。