加减乘除先算哪个

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我们之前了解了简单函数的求导，例如：（C）'=0、（a^x）'=a^xlna、（x^μ）'=μx^(μ-1)。
那么，如果遇到简单函数的加减乘除组合，例如：
1、f(x)=2x^3±e^x；
2、f(x)=2x^3e^x；
3、f(x)=2x^3/e^x
该如何求导数呢？
函数 1：加减法
可以使用通项式表示为：f(x)=A(x)±B(x)
有：

从而得到函数 1 的导数：f'(x)=(2x^3±e^x)'=(2x^3)'±(e^x)=6x^2±e^x。
函数 2：乘法
可以使用通项式表示为：f(x)=A(x)B(x)
有：

从而得到函数 2 的导数：f'(x)=(2x^3e^x)'=(2x^3)'e^x+2x^3(e^x)'=6x^2e^x+2x^3e^x。
函数 3：除法
可以使用通项式表示为：f(x)=A(x)/B(x)
有：

从而得到函数 3 的导数：f'(x)=(2x^3/e^x)'=[(2x^3)'e^x-2x^3(e^x)']/(e^x)^2=(6x^2e^x-2x^3e^x)/(e^x)^2=(6x^2-2x^3)/e^x。
扩展到多个简单函数组合
上面是两个简单函数的加减乘除组合求导。那么，三个、四个乃至 N 个简单函数的组合怎么求导呢？
原理是一样的，先把它们视作两个函数作第一步求导，再进一步推导剩余函数组合的导数。
例如，分别对以下函数求导：
f(x)=A(x)±B(x)±C(x)
g(x)=A(x)B(x)C(x)
h(x)=A(x)/B(x)/C(x)
得到：
f'(x)=A'(x)±B'(x)±C(x)'；
g'(x)=[A(x)B(x)C(x)]'=[A(x)B(x)]'C(x)+A(x)B(x)C'(x)=A'(x)B(x)C(x)+A(x)B'(x)C(x)+A(x)B(x)C'(x)；
h'(x)=[A(x)/B(x)/C(x)]'={[A(x)/B(x)]'C(x)-A(x)/B(x)C'(x)}/C^2(x)={[A'(x)/B(x)-A(x)/B'(x)]C(x)/B^2(x)-A(x)/B(x)C'(x)}/C^2(x)=[A'(x)B(x)C(x)-A(x)B'(x)C(x)-A(x)B(x)C'(x)]/B^2(x)C^2(x)。
四到 N 个简单函数的组合求导，以此类推。
求组合函数导数的示例
我们来求一个组合函数 f(x)=(e^xsin x)/x+e^xcos xx^a 的导数：
f'(x)=[(e^xsin x)/x+e^xcos xx^a]'
=[(e^xsin x)'x-e^xsin x(x)']/x^2+(e^xcos x)'x^2+e^xcos x(x^a)'
=[(e^x)'sin xx+e^x(sin x)'x-e^xsin x]/x^2+(e^x)'cos xx^2+e^x(cos x)'x^2+e^xcos xax^(a-1)
=(e^xsin xx+e^xcos xx-e^xsin x)/x^2+e^xcos xx^2-e^xsin xx^2+e^xcos x2x
=1/x^2(e^xsin xx-e^xsin x-e^xsin xx^4+e^xcos xx+e^xcos xx^4+e^xcos x2x^3)
=e^xsin x/x^2(x-1-x^4)+e^xcos x/x^2(x+x^4+2x^3)
里面没有技巧性的东西，只需要按部就班地推算即可。
第一次关注我的人，可以从第一篇开始看，以下为图文链接：