数学中s代表什么 数学中s的意思

推荐观看由 [遇见数学] 翻译小组译制的关于欧拉等式证明的视频。[遇见数学] 在悟空问答上回答网友“什么是 e”的文章也整理出来了，分享给大家。

发现 e 的第一人

e，也被称为自然常数或欧拉数，是以瑞士数学家欧拉命名的，是自然对数函数的底数。它在数学中是最重要的常数之一，也是一个无理数，这意味着它的小数部分无限不循环。

e≈2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274......

与我们熟知的无理数 π 和 √2 不同，它不是由数学家从几何问题中发现的，而是来自一个金融问题，是用于表示增长率和变化率的常数。那么它为什么与增长率有关呢？让我们回到 17 世纪，看看发现 e 的第一人：数学家雅各布·伯努利和他的研究问题。

伯努利家族中的一些数学家和欧拉

e 与复利问题

雅各布·伯努利在研究复利时发现了一个有趣的现象：假设你在银行存了 1 美元，银行提供的年利率是 100%，那么一年后连本带息，你会得到 2 美元，这是很容易理解的。现在假设半年计算一次利息，半年利率为 50%，这种方案最终的收益会不会比前一种更好呢？计算如下：

这样看来一年后共会获得 2.25 美元。看起来还不错。那么如果将计算利率的周期缩短一点会怎么样呢？再来假设每个月结算一次，月利率为 1/12，最终得到大约 2.61304 美元，这个方案会更好一些。

现在可以看出这样的规律，利息的周期越短，收益就越好。那么让我们继续缩短计息的周期，变为每周计算，计息的次数就是 52 次。

甚至可以计算天利率，或者小时，秒来计算。当然年末所获得的钱亦会增多。雅各布·伯努利发现随着 n 趋于无穷，对于这样的连续复利存在着一个极限：

那么这个式子的极限值是多少呢？

伯努利知道结果会是一个位于 2 和 3 之间的数，但最终的结果很可惜他没有计算出来。这个问题由 50 年后的莱昂哈德·欧拉借助下面的公式计算出来，小数点后 18 位为 2.718281828459045235...... 这就是描述增长率的自然常量 e 的由来。

欧拉恒等式中的 e

既然提到了 e，通常会提到将所有著名的常数出现在同一个方程 - 欧拉恒等式（Euler's identity），被誉为最美的数学公式。请看下面文章链接，图解普林斯顿微积分第 08 章: 《指数函数和对数函数》。

欧拉证明了自然常数 e 是一个无理数，他利用连分数的形式展示了这一点。观察这个连分数的形式（最左侧）：1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10.... 这种能够无限延续下去的连分数意味着它是一个无理数。

许多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟，因此 e 是描述增长率的自然常数。它也是唯一具有以下性质的函数：在该函数曲线上的每个点的 y 值，该点的斜率和面积都是相同的。 当 x = 1 时，函数值等于 e，斜率也是 e，而曲线下的面积也是 e。

正是因为这种独特的性质，使得 e 成为微积分中最受欢迎的函数（微积分正是描述变化率和极限求和的数学）。在微积分课程中，遇到涉及 e 的计算时，计算会相对简单。

(完)

个人水平有限，请各位老师和朋友多多指正帮助！ 也请多转发、支持！ 让我们来纪念一下欧拉大神吧。