正四面体的性质 正四面体建系

四面体

，这一简单的多面体形状，在数学史上却引发了无尽的讨论。2020年11月，四位数学家在学术预印网站arXiv发布了一篇长达30页的论文，使用数论方法解决了一个与四面体有关的古老问题。

这一问题可以追溯至2000多年前的

柏拉图

亚里士多德

。柏拉图提出，世界由五种基本物质构成：水、气、火、土和以太，并且每种物质与一种特定的多面体形状对应，这些多面体被称为柏拉图多面体。

亚里士多德对柏拉图的观点提出了质疑。他认为，如果这些物质确实如此构成世界，那么它们的对应形状应该能够完全填充空间。尽管立方体和正四面体能够填满空间，但正二十面体和正八面体却无法做到这一点。

这并不是亚里士多德的唯一误判。自15世纪起，学者们就开始质疑正四面体是否真的能填充空间。到17世纪时，科学家们已经确认正四面体不能填充整个三维空间。实际证明，只需将若干个正四面体模型摆放在一起，就会发现它们之间必然会留下无法填补的空隙。

事实上，大多数三维形状都无法实现密铺空间。新问题出现了：

除了正四面体，是否还有其他四面体能实现空间的密铺

答案是肯定的。1923年，数学家

Duncan Sommerville

证明了至少有一种四面体能够实现空间的密铺。但具体有多少种这样的四面体却是一个挑战。数学家们发现，这一问题与另外两个重要问题紧密相关。

第一个问题是

大卫·希尔伯特

在1900年提出的23个问题中的第三问：对于任意两个等体积的多面体，是否可以将其中一个多面体分割成有限多个小多面体，再重新拼合成另一个多面体？

换句话说，这个问题的核心在于：是否所有相同体积的多面体都是

剪刀全等

的？即一个形状是否能通过直线切割和重组变成另一个形状。

马克斯·德恩于同年提出了一个重要概念来解答这一问题。他发现，判断两个多面体是否剪刀全等，与多面体的角度和边长有关。他引入了德恩不变量，证明了如果两个形状剪刀全等，则它们的德恩不变量必须相等。

1980年，

Hans Debrunner

证明了

任何能密铺空间的四面体，其德恩不变量都必须与立方体相同，即为0

。这意味着与立方体剪刀全等的四面体才有可能实现空间的密铺。这些四面体的所有二面角度数均为有理数。

随之而来的问题是：

是否可以识别所有二面角度为有理数的四面体

1976年，

约翰·康威

安东尼娅·琼斯

在他们的论文中提出了这个问题。他们提出通过求解一个包含六个变量的多项式方程来寻找这些有理四面体。这个方程有105项，表示六个二面角之间的关系。这一方程有无穷多个解，对应着无穷多种四面体构型。

康威和琼斯认为，找到所有解的关键在于找到一个特殊的解，与所有有理四面体一一对应。他们当时并没有找到解决这一问题的方法。

1995年，数学家

Bjorn Poonen

Michael Rubinstein

以及其他研究者通过计算机进行了大量的计算，发现了这些特殊的有理四面体。他们的研究表明，

满足这些条件的四面体共有59个，加上两个无穷族

。这两个无穷族中的四面体具有一个可以被无限调整的角度参数，使它们能够无论如何调整都保持密铺空间的能力。

尽管如此，

Poonen等人未能证明他们找到的四面体就是所有可能密铺空间的四面体

。直到最近，四位数学家在一篇新论文中提出了方法，证实了25年前的研究结果就是所有满足条件的有理四面体，不再有其他遗漏。

新研究中，数学家们将复杂的六变量方程分解为数百个简单的方程，并对这些方程进行求解。他们还通过对方程解的一些性质进行预判，优化了求解算法，最终找到了59个独立的四面体和两个无穷族的四面体。所有这些四面体的德恩不变量均为零，这意味着它们都可能实现空间密铺。

目前，麻省理工学院的本科生们正在继续研究，试图找出这些四面体中哪些能实现三维空间的密铺。2021年1月，他们发现了一个反例，证明了其中一个独立的有理四面体无法实现密铺空间。这是第一次发现有理四面体虽然与立方体剪刀全等，但却不能实现空间密铺的例子。

编译：佐佑

图片：雯雯子

www./mit-math-students-continue-aristotles-tetrahedra-tiling-20210209/

www./mathematicians-finally-prove-rational-tetrahedron-solutions-20210202/

www-math./~poonen/papers/press_release.pdf

/pdf/2011.14232.pdf

封面图：Matemateca (IME/USP)/Rodrigo Tetsuo Argenton

多面体：Wikipedia Commons