抛物线焦点三角形面积公式_2p除以sina的平方

在探索抛物线与三角形面积关系的过程中，常常会遇到复杂的几何问题。这类问题的解法不仅需要深厚的数学功底，还需灵活运用不同的性质。接下来，我们将通过几个具体例子深入分析如何求解抛物线上三角形的面积，以及涉及的顶点坐标的计算。

一、已知三角形两个顶点及面积求第三个顶点的坐标

1. 考虑抛物线y＝－x²＋2x＋3与x轴的交点A、B，与y轴的交点C。设P为抛物线上的一点，已知S△BCP＝3，求P点的坐标。

分析步骤如下：将抛物线方程y＝－x²＋2x＋3代入y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，得A（－1，0），B（3，0），C（0，3）。接着，构造以BC为底边的三角形，面积为3。由于OC＝3，可以在x轴上选择点N（1，0）和M（5，0），此时有BM＝BN＝2。

S△BMC＝S△BNC＝1/2×BM×OC＝1/2×BN×OC＝3。

接下来，过M点作直线a平行于BC，交抛物线于P1和P2，过N点作直线b平行于BC，交抛物线于P3和P4，得出S△BCP1＝S△BCP2＝S△BCP3＝S△BCP4＝3。根据BC的解析式y＝－x＋3，可以得出a和b的方程分别为y＝－x＋5和y＝－x＋1。

2. 另一种情况，考虑抛物线y＝x²－4x＋3与x轴交于A、B，与y轴交于C，设P为抛物线上的一点且不与B重合，已知S△BCP＝2S△ABC，求P点的坐标。

分析得到A（－1，0），B（3，0），C（0，3），S△ABC＝3，因此S△BCP＝6。构造三角形使其面积为6，取点M（7，0），此时MB＝4，S△BMC＝6；或者取点N（－1，0），同样可以得到S△BNC＝6。过M点作直线a与抛物线交于P1、P2，直线平行BC的另一条直线则与抛物线没有交点。最终得出直线a的解析式为y＝－x＋7。

P点坐标为（－1，6）或（4，3）。

3. 考虑方程y＝0.5x²＋mx－2m－2（m＞0）与x轴的交点A、B，点A在B的左侧，且与y轴交于C，设D（－1，n）为抛物线上的一点，若△ACD的面积为5，需解决以下问题：

（1）求A、B、C的坐标，表达式中含有m；（2）求m的值。

根据方程y＝0.5x²＋mx－2m－2，得x1＝2，x2＝－2m－2，得A（－2m－2，0），B（2，0），C（0，－2m－2）。接着，由于A和C的关系，得到OA＝OC，从而可得AC的解析式y＝－x－2m－2。过D点作平行于AC的直线交x轴于E，由于S△ACE＝S△ACD＝5，设DE：y＝－x＋b，结合已知信息可求得b的值，最终得到m＝1.5。

二、已知三角形两个顶点及面积有最大值，求第三个顶点的坐标

4. 考虑抛物线y＝x²－2x－3与x轴的交点A、B，直线l与抛物线交于A、C，其中C点的横坐标为2。

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）设P为抛物线上的一点，当△PAC面积最大时，求P点的坐标。

将y＝x²－2x－3代入可得x1＝－1，x2＝3，得A（－1，0），B（3，0）。将x＝2代入抛物线解析式得到C（2，－3）。由此可知AC的解析式为y＝－x－1。过P点作平行于AC的直线PD，当直线PD与抛物线相切于P点时，S△ACP的面积达到最大值。

在这一系列问题中，解题时若能抓住关键，通过灵活运用几何性质，便能有效地找到解决方案，最终迎来“柳暗花明”的喜悦。