连续函数的定义_R上连续函数的定义

简而言之，函数连续的定义即当自变量有微小的变化时，函数值亦随之趋向于微小变化。

参考图1所示，可借助红色小球沿曲线下滑的过程理解此概念：随着自变量Δx趋近于0，Δy亦趋近于0。亦可想象x0加上Δx时对应的垂线被强行拉至x0点，此过程中，Δy的高度在Δx缩小至无穷小时被强制压缩至0。

如上图所示，这证明了当Δy趋于0时，其是由Δx所强制拖动所致。因每一个与Δy相关的项中均包含Δx，故可视作Δy被Δx强制拉至0。特别地，图中的Δy严格等于0，而非仅是约等于，这是因为Δx为无穷小，无法以数字表示，导致Δy亦无法以数字表示，只能认定为等于0。这是一种必然的等于0，与1加0.0000001约等于1有本质差异。

Δy的表达式为(x+Δx)^n-x^n = x^n + nx^(n-1)Δx +... + nCrx^(n-r) (Δx)^r +...+ nx(Δx)^(n-1) + (Δx)^n-x^n。

展开后得=nx^(n-1)Δx +... + nCrx^(n-r) (Δx)^r +...+ nx(Δx)^(n-1)，其中nCr=n!/(r!(n-r)!)。

由上述推导可知，对于x的n次方求差后，每一项中都含有Δx，故Δy必趋于0。由以上分析可看出，函数连续的关键在于Δy的各项中均存在与Δx相关的乘积项。

从图示中可知，即使Δy的乘积中最初没有Δx，也可通过数学变换引入。当然还有其它情形，如指数函数a^x。

函数连续的另一种表述如下：

实际上，这种定义与之前的定义是相同的。

那么，何时函数不连续呢？

在图示中我们看到，当Δx从左右两侧趋向于0时，其终点f(0)不同。而图1中不论Δx从左侧还是右侧趋向于x0时，其目的地均为f(x0)。不连续的情况通常发生在目的地点不一致或无法确定的情况下。

还有如下的情况。若x0=0且目的点f(x0)为无穷大，由于无穷大位置未知，我们无法确定其连续性，因此认为这种情况也是不连续的。

再如图示所示的另一种情况，不仅目的点f(x0)位置未知，且左右两侧的终点也不相同。

还有一种情况是数轴意两点（包括有理数和无理数）间存在无穷多个其它点，这使得某些函数的每一点都不连续。

1. 连续性可理解为当Δx趋近于0时，通过某种强制手段使Δy也趋近于0，从而到达预定目的地f(x0)。