均值定理公式_均值定理四个基本公式

各位观众，今日我们来深入探讨一下均值定理中另一道极为经典的题目。

我们来思考这样一个问题：当两个数的和是一个固定值时，我们如何求得它们的乘积的最大值？已知 x 的取值范围在[-2，5]之间，而 y 则是 2 加上 x 的结果。由于 x 的范围限制在[-2，5]，那么 2+x 必然是正数，同时 5-x 也为正数，我们正是要寻找这两个正数相乘的最大值。

在解题过程中，你是否发现了什么规律？这两个数作为正数，它们的和却是一个恒定的数值。回想起均值定理，你是否记得 a²+b²≥2ab？还有一个它的变式，即 a、b≤(a+b)²/2。这个公式告诉我们两个数的乘积是小于或等于它们和的一半的平方。

这道题目正是基于这样的数学原理。看这个表达式 y，它等于什么呢？是 (2+x) 乘以 (5-x)。这两个数都是正数，并且它们之间存在相乘的关系，而它们的和是一个定值。我们可以利用 a×b≤(a+b)²/2 这个不等式来求解。

进一步地，通过计算，我们可以发现这两个数的和消去后，y 的值变为 7/2 倍的平方，即 49/4。这就意味着 y 的最大值是 49/4。那么，何时能够取得这个最大值呢？答案是当且仅当 a=b 时。将这个条件应用到我们的题目中，就是 2x=7，即 x=7/2 时，y 能够达到其最大值 49/4。这就是解决两个数的和为定值时求它们乘积最大值的问题的方法。