32种点群230种空间群

就像连通性和紧致性都是同胚不变的性质一样，同伦性则是一种更为广泛的等价关系。在这种语境下，是否存在某种特定的不变量来描述这种同伦关系呢？答案是肯定的，基本群就是一个同伦不变量。每一个拓扑空间都有其特有的基本群，这个基本群在一定程度上可以区分不同的拓扑空间。当面临一些难以判断同胚关系的空间时，我们可以通过比较它们的基本群来进行鉴别。如果基本群不同，那么这两个空间就肯定不同胚。

那么，基本群是如何定义的呢？它是基于环道这一概念，而环道本质上是连续映射。在之前的拓扑学文章中，我们已经提到了道路的定义：在拓扑空间X内，道路是一个连续映射γ:[0,1]->X。而环道则是在此基础上增加了γ(0)=γ(1)的条件。既然环道是连续映射，那么根据拓扑学中的同论，可以认为互相同伦的环道组成了一个同伦类，这些环道共同构成了基本群的一个元素。如果一个拓扑空间的所有环道都同伦，那么这个拓扑空间的基本群就被称为平凡群，即群中只有唯一元素。由于群中包含二元运算，因此我们需要为环道定义乘积运算。

以下是关于环道及其乘积的详细定义：

**定义1（环道）**：在空间X内，一个环道α是一个满足α(0)=α(1)的连续映射α：I→X，我们称环道α以α(0)为基点。

**定义2（环道的乘积）**：若α与β是以X的同一点为基点的两个环道，我们可以定义α与β的乘积。

**定义3（同伦类）**：在拓扑空间X中，选取一点p作为基点，所有相对于{0,1}与α同伦的环道组成的集合称为α的同伦类，记为。若α与β相对于{0,1}同伦，意味着存在一种映射使得α(0)=β(0)且α(1)=β(1)。我们可以在同伦类之间定义二元运算：·=。这种定义的合理性在于，如果α与α'同伦，β与β'同伦，那么α·β也应该与α'·β'同伦。这一点可以通过构造一个适当的映射来证明。

接下来我们证明环道同伦类的全体构成一个群。

**定理1**：在拓扑空间X中，以p为基点的环道同伦类的全体在·=的运算下构成一个群，记为π1(X,p)。这个结论可以通过验证群的结合律、单位元的存在性以及逆元的定义来证实。

进一步地，如果我们将拓扑空间限定为道路连通空间，基本群与选择的基点无关。这一点可以通过以下定理来证明。

**定理2**：若X为道路连通的，则对于X中的任何两点p,q，π1(X,p)与π1(X,q)是同构的。这个结论可以通过建立一个同态来证明。具体来说，我们可以取一条连接p和q的道路γ，并定义一种映射y*，将π1(X,p)中的元素映π1(X,q)中对应的元素上。可以证明这是一个同态映射且是双射，因此是同构的。此外还可以推广这个结论到其他空间的基本群之间的同态问题。例如对于复合映射f:X→Y和g:Y→Z的情况等。这些定理和结论为我们提供了一种通过基本群来区分和理解不同拓扑空间的方法。