详解单纯形法最小化问题，手把手教你解题，轻松掌握核心要点！
好的，以下是一份关于单纯形法最小化问题的详解，手把手教你解题，轻松掌握核心要点：
单纯形法最小化问题详解
1. 基本概念
单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。在最小化问题中，我们的目标是最小化线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。
2. 问题标准形式
一个典型的线性规划最小化问题可以表示为：
\[ \min \mathbf{c}^T \mathbf{x} \]
满足：
\[ \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b} \]
\[ \mathbf{x} \geq 0 \]
其中：
- \(\mathbf{c}\) 是目标函数的系数向量。
- \(\mathbf{x}\) 是决策变量向量。
- \(\mathbf{A}\) 是约束矩阵。
- \(\mathbf{b}\) 是约束向量。
3. 引入松弛变量
为了将不等式约束转换为等式约束，我们引入松弛变量。例如，对于约束 \(\mathbf{A} \mathbf{x} \leq \mathbf{b}\)，可以引入松弛变量 \(\mathbf{s}\) 使得：
\[ \mathbf{A} \mathbf{x} + \mathbf{s} = \mathbf{b} \]
其中 \(\mathbf{s} \geq 0\)。
4. 构建初始单纯形表
初始单纯形表包括以下内容：
- 基变量和非基变量。
- 目标函数值和各个约束的值。
- 检验数（即目标函数中非基变量的系数）。
5. 判断最优解
在单纯形表中，如果所有检验数都非正，则当前解为最优解。否则，需要继续迭代。
6. 选择进基变量和出基变量
- 进基变量：选择检验数最大的非基变量进入基变量。
- 出基变量：通过最小比率测试选择出基变量，即对于每一行（约束），计算 \(\frac{\text{右端项}}{\text{对应列的正元素}}\)，选择最小比率对应的变量出基。
7. 更新单纯形表
通过行变换，将进基变量对应的列变为单位列，然后更新表格中的其他值。
8. 重复步骤5-7
重复上述步骤，直到所有检验数都非正，此时得到最优解。
手把手解题示例
假设我们有以下线性规划问题：
\[ \min \mathbf{c}^T \mathbf{x} = -3x_1 - 2x_2 \]
满足：
\[ x_1 + x_2 \leq 4 \]
\[ 2x_1 + x_2 \leq 5 \]
\[ x_1, x_2 \geq 0 \]
引入松弛变量
引入松弛变量 \(s_1\) 和 \(s_2\)：
\[ x_1 + x_2 + s_1 = 4 \]
\[ 2x_1 + x_2 + s_2 = 5 \]
构建初始单纯形表
| 基变量 | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | 右端项 |
|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| \(s_1\) | 1 | 1 | 1 | 0 | 4 |
| \(s_2\) | 2 | 1 | 0 | 1 | 5 |
| \(z\) | 3 | 2 | 0 | 0 | 0 |
判断最优解
当前检验数为3和2，均为正，需要继续迭代。
选择进基变量和出基变量
- 进基变量：选择检验数最大的 \(x_2\)。
- 出基变量：计算最小比率：
- 第1行：\(\frac{4}{1} = 4\)
- 第2行：\(\frac{5}{1} = 5\)
选择第1行，即 \(s_1\) 出基。
更新单纯形表
| 基变量 | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | 右端项 |
|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| \(x_2\) | 1 | 1 | 1 | 0 | 4 |
| \(s_2\) | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| \(z\) | 1 | 0 | -2 | 0 | -8 |
判断最优解
当前检验数为1和-2，非基变量 \(x_1\) 的检验数为正，需要继续迭代。
选择进基变量和出基变量
- 进基变量：选择检验数最大的 \(x_1\)。
- 出基变量：计算最小比率：
- 第1行：\(\frac{4}{1} = 4\)
- 第2行：\(\frac{1}{1} = 1\)
选择第2行，即 \(s_2\) 出基。
更新单纯形表
| 基变量 | \(x_1\) | \(x_2\) | \(s_1\) | \(s_2\) | 右端项 |
|--------|--------|--------|--------|--------|--------|
| \(x_2\) | 0 | 1 | 2 | -1 | 3 |
| \(x_1\) | 1 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| \(z\) | 0 | 0 | -1 | -1 | -9 |
判断最优解
所有检验数均为非正，当前解为最优解。
最优解
\[ x_1 = 1, x_2 = 3 \]
最小化目标函数值为 -9。
通过以上步骤，我们手把手地讲解了如何使用单纯形法求解线性规划最小化问题。希望这些内容能帮助你轻松掌握核心要点！
