方差是标准差的平方

昨天我们学习了如何利用图表展示数据分布情况。今天，我们要学习用几个关键的数字来概括和描述一组数据的特征，它们可以帮助我们快速了解数据大概集中在什么位置，以及数据之间的离散程度。

第一个知识点：样本数据的数字特征——平均数（Mean）

平均数是我们最熟悉的统计量。它反映了数据的集中趋势，代表了数据的“平均水平”。具体计算是将所有数据相加后除以数据个数。对于样本数据x₁, x₂, ..., x_n，其平均数为：

x̄ = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n

如果每个数据出现的次数不同，还需要计算加权平均数。优点在于计算简单且能充分利用所有数据。但缺点是易受极端值影响。例如，计算全班同学的平均考试成绩或每天的平均气温。

第二个知识点：样本数据的数字特征——中位数（Median）

中位数是数据从小到大排列后，位于中间位置的数（如果数据个数是奇数）或中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）。它反映了数据的集中趋势，且不受极端值影响。计算方法是先排序数据，然后找到中间位置。优点是不受极端值干扰，适用于偏态分布的数据。缺点是没有充分利用所有数据的信息。例如，调查居民收入时使用中位数可能比平均数更能反映普通水平。

第三个知识点：样本数据的数字特征——众数（Mode）

众数是一组数据现次数最多的数，代表数据中“最流行”或“最普遍”的值。只需统计每个数值出现的次数即可找到众数。注意，众数可能不止一个，也可能不存在。优点是易于理解且不受极端值影响，适用于非数值数据。但缺点是可能不稳定且不唯一。例如，鞋店进货时会根据哪个尺码卖得最好来决定进货比例。

第四个知识点：样本数据的数字特征——方差（Variance）

方差是衡量数据离散程度的指标，表示每个数据与平均数差的平方的平均数。方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。计算公式为：对于样本数据x₁, x₂, ..., x_n，其方差为：s² = (1/n) Σ(xᵢ - x̄)²。方差能很好地反映数据的波动情况，但计算相对复杂且单位不直观。例如，比较两个班级考试成绩的稳定性。

第五个知识点：样本数据的数字特征——标准差（Standard Deviation）

标准差是方差的算术平方根，同样衡量数据的离散程度，但单位与原始数据相同，更为直观。其计算公式为：s = √s²。标准差的作用与方差相似，但更常用且单位一致，便于描述数据的分布范围。例如，天气预报中的平均气温和标准差。

接下来是一些练习题以巩固这些知识点：

1. 求某同学5次数学测验成绩的平均数。

2. 找出数据组的中位数和众数。

3. 计算数据1, 2, 3, 4, 5的方差。

4. 求数据0, 1, 2的标准差。

5. 比较两组数据的方差或标准差，解释哪组数据更分散并说明原因。