最小的整数是零是对还是错

我国的古代数学书籍《孙子算经》中有一道非常著名的问题：有一物，我们不知道它的具体数量，但是如果我们尝试以三为单位进行数数，会剩下二；以五为单位进行数数，会剩下三；以七为单位进行数数，也会剩下二。那么，这个物品的数量到底是多少呢？

这个问题与一则古老的民间传说——“韩信点兵”中的数学问题如出一辙。

在秦末汉初的时期，韩信在与楚王大将李峰的战斗中，需要将1500名士兵进行整编。在一场战役后，伤亡了四百余人，休整之后再次出战时，面对不足五百骑的楚军追击，韩信需要精准地点兵迎敌。他命令士兵三人一排，会多出两名；接着命令士兵五人一排，会多出三名；再命令士兵七人一排，同样会多出两名。韩信凭借出色的数学能力，迅速宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百人，这一宣布极大地振奋了士气。最终，楚军因人数劣势而大败而逃。

那么，韩信是如何神奇地计算出有1073名士兵的呢？虽然具体方法不得而知，但后人对这一问题进行了深入研究，并为数学做出了巨大贡献。

十六世纪，数学家程大位在在他的著作《算法统宗》中给出了一种解法的歌诀：三人同行得七十，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五得知情。

歌诀中的前三句给出了三组数字，后一句则给出了一个关键的数字：3对应70、5对应21、7对应15以及105。这些数字有一个共同特征：比如70除以3余1，除以5、7则余数为0；再如21除以5余1，除以3、7余数也为0。

经过一系列计算与推导，我们可以找到符合所有余数条件的数字N。然后，从这个N中减去3、5、7的公倍数，就可以得到问题的最小解。考虑到韩信点的兵数量在1000到1500之间，因此应该是10510+剩余的最小数，即1073人。

真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了一个数学方法——“大衍求一术”。所谓“求一”，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得余数为一”。秦九韶将这个问题转化为一次同余式组，并形成了解决这类问题的系统化的数学理论。

在西方，直到十九世纪初，德国数学家高斯才在《算术探究》一书中提出解决这类问题的方法——剩余定理，并给出了严格的证明，被后人称为“高斯定理”。剩余定理的重要性在于它提供了一种解决复杂问题的方法：将复杂问题分解为几个易于解决的小问题，将不同的条件转化为标准的条件，然后用统一的方法进行处理。这也是一种重要的数学思想。

现在让我们尝试解答几个基于剩余定理的问题：

问题一：有一个数除以3余2，除以4余1。请问这个数除以12余几？

解答：根据的剩余定理，先找到被4整除且除以3余1的数（显然为4），再找到被3整除且除以4余1的数（应为9）。两者的乘积加上余数（24+19=17）得到其中一个可能的答案。然后我们可以知道这个数除以12的余数是5。所以答案是余数为最小的解即为5。

问题二：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4。请问这个数最小是多少？

解答：首先根据剩余定理的“求一”步骤，找到满足每个条件的数。然后通过相加得到满足所有条件的数。最后减去3、4、5的最小公倍数倍数得到最小的数。所以答案是这个数最小为34。

问题三：一个班级的学生分组做游戏时如果每组3人就会多出2人出来；每组如果是5人就会多出3人出来；每组如果是7人就会多出4人出来。请问这个班级总共有多少学生？ 解答：依然是通过剩余定理来解决这个问题。首先找到满足所有条件的数（即班级人数），然后减去最小公倍数倍数得到班级实际人数最小的可能值。所以这个班级有最少的学生人数为：通过计算得到为 53 人 。