收敛和发散的四则关系

【遇见数学之美：大自然的几何与分形】作者徐琳。

今天的主题是几何，特别是大自然的几何。说到几何，大家总会想到三角形、正方形和圆等基础形状。自然界的形状真的只限于这些吗？答案显然不是。经典几何学所描述的，是由直线、曲线、平面和曲面组成的各种几何形状，它们是对现实世界物体形状的高度抽象。正如伽利略所说，大自然的语言是数学，它的标志包括三角形、圆和其他图形。为了真正了解大自然的复杂性，我们还需要超越欧几里得几何学的局限。

在Mandelbrot的《大自然的分形几何学》一书中，他提出了一个新的视角。书中提到：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮也不是光滑的表面。它们都是复杂而简单的‘分形’”。分形的概念是为了更好地描述和解释真实的大自然。Mandelbrot被誉为“分形之父”。

其中，最引人瞩目的分形问题是海岸线的长度。Mandelbrot告诉我们，这是一个不确定的答案。海岸线的长度取决于测量的尺度。就像大象和蚂蚁测量同一段路的步数会有巨大差异一样，这是因为大象忽略了细节，而蚂蚁看到的路程更加复杂。这仿佛为龟兔赛跑提供了一个更合理的理论依据。

如果你仔细观察一些图形，你会发现分形具有一些明显的特征：自相似性、无穷的层次性和可以通过简单的递归、迭代方法产生。这些特征似乎与高中数学中的数列概念有着紧密的联系。

在介绍分形时，我曾经以一个问题引入：是否存在一个图形，具有有限的面积却拥有无限的周长？当我们探索这个问题时，我带领学生们从一个正三角形开始，按照特定的规则进行构造，这个规则就是一系列的迭代过程。通过这个过程，我们可以无限地继续下去。

计算无限次后的图形的周长和面积时，我们发现周长的结果是无穷大，但面积是有限的。这样的图形被称为Koch曲线。我们也可以从中得出数列极限的收敛与发散的条件。

为了更好地理解这种迭代过程，我们会选择多种常见的函数作为迭代公式，并观察在给定的初始值下，迭代10次后的效果。除了等比数列之外，我们还会探索一次函数、包含平方、根式、分式等关系的函数在迭代过程中的收敛与发散情况。在这个过程中，我们发现某些情况下迭代的结果会趋向一个定值，这个值被称为不动点。对于不同的函数，我们尝试寻找什么情况下会收敛，并通过迭代回形图来寻找一些规律。

回到分形的世界。分形不仅展示了数学之美，还揭示了世界的本质，改变了人们理解自然的方式。在分形的艺术中，每个人都可以是艺术家。就像Mandelbrot在TED演讲中所说的：“无边的奇迹源于简单规则的无限重复。”这正是数学与自然和谐融合的魅力所在。