重叠的反义词近义词

上周，当小编去撸串的时候，发现竹签桶已然堆积如山的签子。

纳尼？我已经吃了这么多吗？

症发作，我忍不住开始整理这些竹签（没有图片），以便为新的竹签腾出空间。

看着整齐有序的竹签桶，我陷入了沉思：同样是数量的竹签，同样是大小的竹签桶，仅仅改变竹签的排列方式，就能让竹签桶从满载到仅装一半，这其中蕴含的物理原理是什么呢？

我们从几何角度来分析。两种竹签的空间排列方式对应着单根竹签的平均占据体积不同。那么，什么是“平均占据体积”呢？

为了理解单根竹签的平均占据体积，我们将竹签堆的总体积定义为能够覆盖所有竹签的最小凸多面体。凸多面体是指，如果两个点属于这个多面体，那么连接这两个点的线段也一定属于这个多面体。

凸多面体（立方体）和凹多面体的对比图。来源：flookes

我们可以通过对比凹多面体来理解这个概念。比如一个被踩扁的足球，其凹陷部分的边缘都属于足球，但连接边缘两点的线段却是空气，并不属于凹陷下去的足球内部。

被踩扁的足球示意图。来源：istockphoto

当我们将竹签堆的体积定义为“能覆盖所有竹签的最小凸多面体”时，平均占据体积就是这个体积除以竹签的数量。

那么，平均占据体积的上下限又是多少呢？

首先考虑最小情况。假设一根竹签是一个理想的细长圆柱体，高度为L，底面半径为r，如果按照空间最密堆积的方式，可以计算出单根竹签在竹签堆中的最小占据体积。

高密度堆积的圆柱体示意图。来源：Woden Kusner

而考虑最大占据体积时，我们需要限制竹签堆的排列方式。否则，如果堆中的某些竹签相距非常远，那么整个竹签堆的体积可能会无限大。我们可以要求每根竹签至少与一根其他竹签接触。

但还有一个反例：如果这些竹签连接成环形，那么它们构成的凸多面体体积会很大，但实际上中间有很大的空心部分。为了解决这个问题，我们可以假设每根竹签都有一个以它自身为直径的小球。那么所有竹签对应的小球叠加在一起的体积（允许部分重叠）就可以覆盖整个多面体。这样，如果竹签连接成环，那么必然会有空心的部分，因此这种情况被排除在外。

接下来，我们就需要借助数学来解决问题了。考虑到竹签是只有长度、横截面积为零的线段，我们需要在所有可能的排列方式中找出平均占据体积最大的解。严格的证明比较困难，但我们可以通过探索物理规律来寻找答案。

我们先看最简单的情况：一根竹签无法摆出花样；当有两根竹签时，它们必须相互接触，构成的凸多边形面积为|ab|/2，考虑上竹签的厚度r的话，平均占据体积为|ab|r/4。当两根竹签相互垂直时，这个体积达到最大，为rL/4。