三角形不用高求面积

不久前，有人提问球的体积计算公式是什么？

由于长期依赖各类搜索引擎，再加上对睡眠、追剧、电子竞技等新型兴趣的过度投入，这些熟悉的公式早已被我抛诸脑后。当我再次拿起笔尝试推导时，我发现基础的微积分计算法则似乎也变得陌生起来。

于是我开始了一场探索之旅，半天下来，我不仅成功求出了球的表面积，还求出了球的体积，这个过程与微积分并无直接关系。那么，如何不用微积分来求一个球的体积呢？

我们抛弃强大的微积分这一曲线计算工具，转而使用：一点点相似三角形的知识、一点点空间想象力，再加上古代数学家的智慧结晶——祖暅原理。

首先来探讨如何计算球的表面积。

众所周知，球的表面积公式为4r^2，这恰好是同半径圆形面积的4倍。为什么会是4倍呢？顺着这个思路深入，你可能会感到无从下手，无助又可怜。

这一过程我也曾经历过。直到我发现了另一个秘密：4r^2恰好是球外接圆柱的外围面积。

想象一下，如果我们把球的表面划分成小块，然后沿水平方向向四周投影，这些小块正好铺满外面的“圆筒”。因为圆筒的面积是圆的周长乘以筒的高度：2r2r = 4r^2，与球的表面积完全吻合！

就像某些示意图中展示的，球上的小块在投影到圆筒上时会发生形变，它们的宽度可能会增大，而高度则会相应减小。

我们来看看具体的变形过程。先从中心轴往外看：越靠近边缘，投影的距离越远，小块就会变得越来越宽。纬度越高的地方，也就是越靠近球的上下顶点的小块，投到圆筒上之后宽度增加得越多；而位于赤道上的小块与圆筒相接，宽度就不变了。

如果你知道相似三角形的比例关系，就会知道△AEF和△ADC是相似的。增大的倍数是r/d。对于球上不同的纬度，d会改变，但球的半径r不变。越靠近两极，d越小，r/d就越大，小块的宽度增加也就越多，这与我们观察到的现象是一致的。

类似地，我们也可以看看水平方向的情况：这个方向上的投影会让小块的高度缩小。因为球体圆润，越靠近两极，小块越是趋近“平躺”，投影后高度缩小的也越多；而在赤道上，小块直立，投影不会改变小块的高度。

于是神奇的现象发生了：球上的每一个小块经过投影之后形状会发生变化，宽度拉长了r/d倍，同时高度萎缩了d/r倍。这两个倍数相乘正好等于1。如此一来，小块投影前后的面积其实没有变化！仅仅利用三角形知识，我们就证明了：计算球的面积可以用外接圆筒的面积来替代。

接下来我们谈谈祖暅原理。祖暅原理又叫卡瓦列里原理。虽然卡瓦列里在十七世纪提出了类似的等积原理用于复杂几何领域，但实际上祖暅的发现比他早了整整一百年。祖暅原理的提出是为了解决计算牟合方盖的体积问题从而求得球的体积问题。而现在更常见的用法是这样的：图中球的体积等于圆柱去掉两个圆锥的体积之和的原因在于它们每个剖面的面积都相等。我们可以用半球作为例子来计算其体积。通过利用这一原理我们发现球体积的计算可以转化为圆柱和圆锥的体积计算问题来解决。由于圆柱的体积是已知的而圆锥的体积是圆柱体积的三分之一所以我们只需要通过祖暅原理来找到球与圆柱和圆锥之间的关系就可以求得球的体积了而无需使用微积分的知识进行复杂计算这个过程非常有趣且富有启发性让我们看到了数学的奇妙之处。