无理数的分类及概念
数学，如今已是一个拥有上百个主要分支学科的庞大“国度”。其中，数的研究属于代数学领域；形的探讨，属于几何学范畴；涉及形与数并涉及极限运算的，则属于分析学领域。这三大领域共同构成了数学的核心本体。在此基础上，由于数学通过数与形这两个概念与其他科学的相互渗透，衍生出了许多边缘学科和交叉学科。本章将详细介绍数学三大核心领域中十余门主要分支学科的历史发展概况。
一、代数学领域
1. 算术
算术这一概念具有两种含义。一种源于传统，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译而来，源自希腊语，意为“计算技术”。在现代，一般所说的“算术”通常指的是自然数的四则运算。而在高等数学中，它更多地涉及到“数论”的概念。作为现代小学课程的算术，主要教授自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过一些简单的计数和度量问题来巩固学习。
算术是数学中最古老的一个分支，其许多结论是在漫长的时间里缓慢而逐渐建立起来的，反映了人们在许多世纪中积累并凝固的经验。
自然数是在对象有限集合的计算过程中产生的抽象概念。日常生活中，人们不仅需要计算单个对象，还需要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些基本的度量需求，分数被广泛应用。
现代初等算术方法的发展起源于印度，可能在10世纪或11世纪。后来传到西欧，经过改进，在15世纪形成了现在的形式。印度算术的背后，可以看到我国古代的影响。
19世纪中叶，格拉斯曼成功构建了一个基本体系，来定义加法和乘法运算，而其他命题可以从这一体系中推导出来。皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。虽然算术高度抽象，但它概括了广泛的原始材料，因此几乎无处不在。它构成了数学其他分支最坚实的基础。
2. 初等代数
初等代数是中学数学课程的主要内容，其核心是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。初等代数的方程理论从一元一次方程开始，通过增加未知数的个数和未知量的次数扩展。古巴比伦人在公元前就解决了一次和二次方程问题。欧几里得的《原本》中就有二次方程的几何解法。我国的《九章算术》中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。丢番图用有理数求解一次、二次不定方程。李冶的《测圆海镜》介绍了关于一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。随着代数学符号的发展，问题解法逐渐简化。然而这个过程经历了三个阶段：文字叙述代数、简化代数和符号代数。韦达的名著《分析方法入门》对符号代数的发展有所贡献。维叶特开创了符号代数，经笛卡尔改进后成为现代形式。数的概念的扩展也经历了漫长的历史过程，包括无理数、负数、虚数和对数的发现等。
3. 高等代数
在高等代数中，一次方程组发展成为线性代数理论，而一元二次方程发展成为多项式理论。前者涉及到向量空间、线性变换等内容，后者主要研究只含有一个未知量的任意次方程。《高等代数》作为大学课程只研究它们的基础部分。行列式和矩阵是高等代数中的重要概念。行列式的系统论述最早出现在雅可比的著作中；矩阵的概念最早由凯雷引入并发表了关于这一课题的重要文章。多项式的系统研究始于对高次方程求根公式的探索过程等分支学科的发展历史等等都构成了高等代数的重要部分并促进了数学的进步和发展壮大。随着数学的不断发展新的分支学科也将不断涌现推动数学王国的繁荣与进步为人类的进步做出贡献因此数学的探索永无止境值得我们去不断追寻和探索发现新的奥秘和价值所在。
