等边三角形的基本性质

理论背景与准备

在开始之前，我们先来了解一下几个重要的概念：定点、定角、主动点、主动线、主动轨迹、从动点、从动线以及从动轨迹。这些都是我们在后续讨论中会频繁使用到的术语。

瓜豆原理的性质

瓜豆原理是数学中一种重要的原理，其性质如下：

1. 主动点的轨迹和从动点的轨迹是一样的。也就是说，如果主动点是沿着直线运动的，那么从动点也是沿着同样的直线运动；如果主动点是沿着双曲线运动的，从动点也是沿着双曲线运动。

2. 主动线与从动线之间的夹角与主动轨迹与从动轨迹之间的夹角是相等的。

3. 主动线与从动线之间的比值与主动轨迹与从动轨迹之间的比值是相等的。

有了这些基础知识，我们就可以开始探讨下面的题型了。

题型：求动点轨迹解析式

1. 如图所示，△ABC是一个等边三角形，A点的坐标为(4,0)。C是y轴上的一个动点，随着C的运动，B点也按照相同的轨迹运动。求B点运动的轨迹解析式。

【方法1】分析：本题中，A点是定点，C点是主动点，B点是从动点。我们知道C点在y轴上运动，轨迹为直线。根据瓜豆原理，B点的轨迹也是直线。我们可以使用求一次函数解析式的方法来求解。通过找到B点轨迹上的两个特殊点，然后使用待定系数法求解。

【方法2】分析：同样根据瓜豆原理的性质来求解。A点为定点，C点为主动点，B点是从动点。AB与AC的夹角为60。B点轨迹与C点轨迹的夹角也为60。利用这一性质可以快速求解。

2. 如图, △ABO是一个等腰直角三角形，A(-4,0)，直角顶点B位于第二象限。点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD。我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数表达式。

【方法1】分析：本题是瓜豆原理的应用题，注意到D点的位置有两个，一个在BC的上面，一个在BC的下面。因此会有两种情况。我们只需要找到两个特殊点，就可以利用待定系数法求出函数的解析式。

【方法2】分析：同样可以根据瓜豆原理的性质来解题。由于BC与BD的夹角为45，所以点C的运动轨迹与D的运动轨迹的夹角也为45。根据这个规律，我们可以快速找到解题方法。

其实我们可以想象，这两题的从动点的轨迹是将主动点的轨迹绕着定点进行旋转和缩放得到的。旋转和缩放，这正是瓜豆原理的真谛所在。

3. 如图，在反比例函数y=-2/x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B。在第一象限内有一点C，满足AC=BC。当点A运动时，点C始终在函数y=k/x的图像上运动。若tan∠CAB=2，则k的值为多少？

分析：即使题目没有告诉我们C点的运动轨迹是反比例函数，我们也可以发现，连接OC后，O为定点, A为主动点，C为从动点。典型的符合瓜豆原理的结构。所以C点的轨迹也是反比例函数。本题只需要求出k即可。

4. 双曲线y=4/x上有一个动点A和一个关于原点对称的动点B。当∠C=90且AC=BC时，求C点的轨迹方程。分析：根据瓜豆原理，从动点C的轨迹和主动点A的轨迹一样，也是反比例函数，且经过二、四象限。因此只需求出k的值即可。通过设定的反比例函数解析式和几何关系，我们可以找到k的值。点评：反比例类型的题目一般涉及90的夹角。这可以结合函数旋转和相似原理进行分析。

求从动点解析式的步骤包括确定从动点的轨迹、设出从动点轨迹解析式、找到从动点的几个特殊点、利用待定系数法求解。待定系数也可以基于其他等量关系来确定。更多数学资讯可以关注我们的头条号获取。