二阶偏导数存在时，一阶偏导数一定连续吗？

根据数学分析中的基本定理，二阶偏导数的存在并不能保证一阶偏导数的连续性。具体来说，如果一个函数在某点的二阶偏导数存在，这仅意味着该函数在该点的邻域内具有足够的平滑度以计算二阶导数，但并不必然意味着其一阶偏导数在该点或其邻域内是连续的。

一个典型的反例是函数 \( f(x, y) = \begin{cases}

\frac{xy^3}{x^2 + y^4} & \text{当 } (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & \text{当 } (x, y) = (0, 0)

\end{cases} \)。在这个函数中，尽管在原点 \((0, 0)\) 处的所有二阶偏导数都存在，但一阶偏导数在原点处并不连续。具体来说，计算可以表明 \( f_x(0, 0) = 0 \) 和 \( f_y(0, 0) = 0 \)，然而，当 \((x, y) \neq (0, 0)\) 时，一阶偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \) 的表达式分别为 \( f_x(x, y) = \frac{y^3(x^2 - y^4)}{(x^2 + y^4)^2} \) 和 \( f_y(x, y) = \frac{3x^2y^2(x^2 + y^4) - 2x^2y^6}{(x^2 + y^4)^2} \)。这些表达式在原点附近表现出不连续性，尽管二阶偏导数在原点处存在。

因此，二阶偏导数的存在并不能推导出一阶偏导数的连续性。为了确保一阶偏导数的连续性，需要更强的条件，例如函数本身足够平滑，比如满足一定的光滑性要求。