两圆内切时求公切线方程超简单！

两圆内切时求公切线方程确实可以变得非常简单。首先，我们需要明确两圆内切的条件：两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值。设两圆的圆心分别为\( O_1 \)和\( O_2 \)，半径分别为\( r_1 \)和\( r_2 \)，则内切条件可以表示为：

\[ |O_1O_2| = |r_1 - r_2| \]

接下来，我们求公切线方程。由于两圆内切，公切线只有一条，且这条公切线会与两圆的切点连线垂直。设公切线与两圆的切点分别为\( A \)和\( B \)，则切线段\( AB \)的斜率是圆心连线\( O_1O_2 \)斜率的负倒数。

假设圆心\( O_1 \)的坐标为\( (x_1, y_1) \)，圆心\( O_2 \)的坐标为\( (x_2, y_2) \)，则圆心连线的斜率为：

\[ k_{O_1O_2} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

因此，公切线的斜率为：

\[ k_{AB} = -\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} \]

利用点斜式方程，我们可以写出公切线的方程。假设公切线经过点\( A(x_1, y_1) \)，则方程为：

\[ y - y_1 = -\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} (x - x_1) \]

整理后得到：

\[ (y_2 - y_1)x + (x_2 - x_1)y = x_1y_2 - x_2y_1 \]

这就是两圆内切时的公切线方程。通过这个方程，我们可以方便地求出公切线的具体位置。需要注意的是，如果两圆的圆心重合，即\( x_1 = x_2 \)且\( y_1 = y_2 \)，那么公切线将退化成一条垂直于连心线的直线。