薛定谔定律通俗易懂的例子

在日常生活中，牛顿定律足以描述大部分运动现象。当科学家们深入探索微观世界，比如电子围绕原子核的运动时，他们发现事情变得异常诡异，牛顿定律不再适用。为了描述微观世界，我们必须借助量子力学，这一理论在20世纪初开始崭露头角。量子力学中的核心方程——薛定谔方程，就如同牛顿第二定律在经典力学中的地位一样重要。

虽然你可能没有听说过薛定谔方程，但你可能听说过著名的薛定谔猫，这只猫处于死和活的叠加状态。今天我们要重点介绍薛定谔方程。让我们从波和粒子开始谈起。

薛定谔（1887-1961）。

【波与粒子】

在经典力学中，我们利用位置和动量来描述一个物理系统的状态。例如，在桌子上有很多台球，如果我们知道每个球在某个时刻的位置和动量（即质量乘以速度），那么我们就知道该系统的全部状态。如果我们知道一个系统的初始条件，即该系统在某一时刻的状态，那么如何利用牛顿第二定律来预测系统的动态演化呢？在量子力学中，我们同样提出这个问题，但答案更为深奥，因为位置和动量不再是描述系统的合适变量。

爱因斯坦曾提出光电效应理论。该理论的关键在于，微观尺度下的事物行为与桌球不同。例如，牛顿认为光是由微粒构成的，但后来的实验表明光的行为更像波动。爱因斯坦在1905年的研究中发现，波动理论并不完全正确。为了解释光电效应，他提出我们应该将光想象成由粒子流组成，这些粒子他称之为光子。光子的数量与光的强度成正比，每个光子的能量与它的频率成正比。

普朗克常数是一个很小的数字，由普朗克在1900年研究黑体辐射时提出。我们面临的问题是有时光的行为像粒子，有时则像波。

爱因斯坦的研究将两个重要领域联系在一起：光学（关于波的）和力学（关于粒子的）。德布罗意在光的这种自相矛盾的行为的启发下，进一步探索了这个领域。他提出，不仅仅是光，所有的物质都应该拥有所谓的“波粒二象性”。例如，电子有时表现得像粒子，有时则像波。

描述波粒二象性最著名的实验是双缝实验。考虑电子（或其它粒子，如光子或中子）在特定实验装置中的行为。当电子连续地朝有一面双缝的屏幕发射时，如果电子具有粒子的行为，它们会在双缝后面的两条直线旁边堆积。但实际上观察到的是干涉图案！这种干涉只有在电子是波的时候才会出现。总结来说，电子总是以完整的颗粒形式到达，但这些颗粒到达的概率分布则像波的强度分布。从这个意义上说，电子的行为“有时像粒子，有时像波”。

【薛定谔方程】

德布罗意提出的新图景需要新的物理学理论来描述。那么在数学上，我们如何描述波粒二象性呢？我们知道光子的能量与频率有关，而频率与波长之间的关系为=c/f，其中c是光速。利用相对论的结果，我们可以将光子的能量和动量联系起来。最后我们可以得出一个方程，该方程联系了光子的波长和动量p。我们知道在任何时候都没有物体会完全静止，因此p永远不会等于零。我们也知道h的值非常小，以至于通常我们根本观察不到宏观物体的波动性。（在某些特殊情况下，量子效应在宏观尺度上也可以被观察到，比如玻色-爱因斯坦凝聚）。德布罗意假设任何粒子的波长和动量都应该服从上述的波长和动量之间的关系。现在让我们暂时忽略粒子表现得像波究竟意味着什么而将注意力放在数学上。在经典力学中波随时间演化是由波动方程描述的。波动方程是一个偏微分方程其解是一个波函数它给出任意时间的波的形状需要满足合适的边界条件例如如果你把一根拉紧的弦上下抖动就会在弦上形成一个简单的波为了完全地描述波你需要知道弦在时间 t 位置 x 上沿着 y 轴方向的位移 y x t运用牛顿的第二运动定律我们可以推导出 y x t 服从以下的波动方程 v 是波的速度 这个方程的一般解 y x t 相当复杂因为绳子可以以各种方式扭动需要更多的信息初始条件和边界条件才能找到正确的运动模式但是作为一个例子函数 描述的是沿着 x 轴正方向移动并具有角频率的波你可以把该入波动方程进行验证同样的也应该存在一个描述德布罗意的物质波随时间演化的波动方程无论方程是什么它的解应该是一个波函数它告诉我们量子系统在任意时刻的一切情况例如单个粒子在盒子内的运动这个方程是由薛定谔在 1926 年提出的对于一个在三维空间中运动的单个粒子薛定谔方程为 V 是粒子的势能它是 x y z t 的函数 i 是虚数 m 是粒子的质量 h 是普朗克常数该方程的解为波函数 x y z t 在某些情况下势函数不依赖于时间 t 也就是说函数的值仅依赖于