欧拉公式的四种形式（欧拉数的三个最佳公式）

欧拉数e是一个无理数，大约等于2.71828。它在数学中占有极其重要的地位，不仅在纯数学中，而且在统计学、物理学和工程学中也是不可或缺的存在。

对于这样一个基础且重要的数字，存在多种定义方法。我将介绍三种定义方法，其中两种来自分析学，另一种来自数论。这些方法帮助我们了解欧拉数e的神奇之处。

让我们来看看著名的钟形曲线——y = e^(-x/2)。这个曲线与e的极限定义有关。假设你在银行的1英镑存款，银行每年会按照复利方式支付你利息。如果将一年的时间划分为n个利息期，并在每个利息期结束时支付（100/n）%的复利，那么e就在这个过程中起着关键的作用。随着n的增大，我们可以得到一个极限公式来计算你能从银行获得的最大利息，这个公式就是e的值。

接下来，e也可以通过收敛级数来定义。它是阶乘倒数的总和。我们可以使用比率检验来证明该级数的收敛性。这个定义在分析中非常常见，因为它产生了指数函数、幂级数以及数学中最重要的函数之一。指数函数具有特殊的性质，其导数等于其本身，因此在e的幂曲线上的任何给定点，其斜率都等于其高度。

我们可以通过连分数来表示e。连分数是一种将无理数表示为无穷分数的方法。e的连分数遵循一种特定的模式，整数部分之后是三元组 (1, 2n, 1)，其中 2n 是递增的偶数值。

现在，让我们完成一些额外的挑战：

挑战1：尝试计算投掷一个n面骰子n次的结果，然后取极限为n趋近于无穷大，看看结果是否接近e。

挑战2：我们知道正弦和余弦的幂级数表示法。使用这些性质来证明恒等式e^(ix) = cos(x) + i sin(x)，其中i是-1的平方根。

挑战3：计算一些连分数的近似值，如[1；2，2，2，…]、[2；4，4，4，…]和[4；8，8，8，…]。尝试将条目加倍并观察结果中的规律。你会发现什么有趣的模式吗？