丹凤千字科普：揭秘圆台体积公式推导过程原来这么简单易懂

圆台体积的公式是圆台体积 $V$ 与底面半径 $r$、高 $h$ 和母线长 $l$ 之间的关系：

$$ V = frac{1}{3} pi h (r^2 + r l + l^2) $$

这个公式推导过程如下：

1. 定义变量：

- 设圆台的底面半径为 $r$，高为 $h$，母线长为 $l$。

- 设圆台的上底面半径为 $r_1$，下底面半径为 $r_2$，则 $r_1 = r - h/2$ 和 $r_2 = r + h/2$。

2. 使用圆台体积公式：

- 圆台体积公式为 $V = pi h (r^2 + r l + l^2)$。

3. 展开并简化：

- 将圆台体积公式中的 $r^2$ 和 $l^2$ 分别展开：

$$ V = pi h ((r - h/2)^2 + (r + h/2)^2 + 2r(r + h/2)(r - h/2)) $$

- 展开后得到：

$$ V = pi h (r^2 - h^2 + r^2 + 2r^2h + h^2) $$

- 合并同类项：

$$ V = pi h (4r^2 + 2r^2h) $$

- 进一步简化：

$$ V = pi h (4r^2 + 2r^2h) $$

- 由于 $h$ 在分母中，可以提出公因式 $h$：

$$ V = pi h (4r^2 + 2r^2h) $$

- 提取公共因子 $pi h$：

$$ V = pi h (4r^2 + 2r^2h) $$

- 最后得到圆台体积公式：

$$ V = frac{1}{3} pi h (r^2 + r l + l^2) $$

这就是圆台体积公式的推导过程。通过逐步展开和简化，我们得到了最终的公式。