探索超几何分布的计算过程：轻松掌握抽样概率的秘密

超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在固定样本容量下，从n个对象中抽取k个对象，且每个对象被抽到的概率相等的情况。这种分布特别适用于当总体中某些对象的数量远大于其他对象时，例如在医学研究中分析某种疾病的发病率或在市场调查中估计某种产品的销售量。

超几何分布的计算过程

假设我们有一个总体 \( N \)，其中包含 \( n \) 个对象。我们需要从中抽取 \( k \) 个对象，并且每个对象被抽到的概率是相等的。超几何分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：

\[ P(X = k) = \frac{n^k}{N^k} \]

其中：

- \( X \) 是成功抽取 \( k \) 个对象的事件。

- \( N \) 是总体中的对象总数。

- \( n \) 是总体中特定类别的对象数。

- \( k \) 是要抽取的对象数。

如何计算超几何分布？

1. 确定总体和样本大小：你需要知道总体中有多少个对象（\( N \)），以及你打算从中抽取多少个对象（\( k \)）。

2. 确定总体中特定类别的对象数：如果总体中有多个类别，你需要知道每个类别中的对象数（\( n_1, n_2, ..., n_m \)），其中 \( m \) 是类别的数量。

3. 计算组合数：为了计算从 \( n \) 个对象中选择 \( k \) 个对象的组合数，你可以使用组合公式：

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

其中：

- \( n! \) 表示 \( n \) 的阶乘。

- \( k! \) 表示 \( k \) 的阶乘。

- \( (n-k)! \) 表示 \( n-k \) 的阶乘。

4. 计算超几何分布的概率：将组合数代入超几何分布的概率公式中：

\[ P(X = k) = \frac{C(n, k)}{C(n, n)} = \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{n!}} = \frac{C(n, k)}{n!} \]

5. 简化表达式：由于 \( C(n, k) = C(n, n-k) \)，我们可以进一步简化公式：

\[ P(X = k) = \frac{C(n, k)}{n!} = \frac{C(n, n-k)}{n!} = \frac{C(n, k)}{n!} \]

6. 计算具体数值：你需要计算具体的数值。这通常需要一些数学软件或者手动计算。

示例

假设我们有一组数据，总共有 10 个对象，其中有 3 个对象属于类别 A，3 个对象属于类别 B，4 个对象属于类别 C。我们想要从中抽取 2 个对象，每个对象属于不同类别。

- 总对象数 \( N = 10 \)

- 类别 A 的对象数 \( n_A = 3 \)

- 类别 B 的对象数 \( n_B = 3 \)

- 类别 C 的对象数 \( n_C = 4 \)

- 要抽取的对象数 \( k = 2 \)

组合数 \( C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \)

超几何分布的概率为：

\[ P(X = 2) = \frac{C(10, 2)}{10!} = \frac{45}{10!} = \frac{45}{120} = \frac{3}{4} \]

这意味着，如果我们随机抽取两个对象，那么这两个对象都属于类别 A 的概率是 \(\frac{3}{4}\)。