探索平面向量二级结论的十个小秘密

1. 向量加法不满足交换律：两个向量a和b相加的结果c并不等于b和a相加的结果c。例如，(2, 3) + (-3, -2) ≠ (-3, -2) + (2, 3)。

2. 向量减法不满足交换律：两个向量a和b相减的结果c并不等于b和a相减的结果c。例如，(2, 3) - (-3, -2) ≠ (-3, -2) - (2, 3)。

3. 向量乘法不满足交换律：两个向量a和b相乘的结果c并不等于b和a相乘的结果c。例如，(2, 3) × (-3, -2) ≠ (-3, -2) × (2, 3)。

4. 向量的模长（长度）：向量的长度可以通过计算其各分量平方和的平方根来得到。例如，(2, 3) 的模长为√(2^2 + 3^2) = √13。

5. 向量的点积（内积）：两个向量a和b的点积定义为a·b = a_x b_x + a_y b_y，其中a_x和a_y分别是向量a的x和y分量，b_x和b_y分别是向量b的x和y分量。例如，(2, 3) · (-3, -2) = 2(-3) + 3(-2) = -6 - 6 = -12。

6. 向量的叉积（外积）：两个向量a和b的叉积定义为a×b = (a_y - b_x)i + (a_x - b_y)j + (a_z - b_w)k，其中i、j、k分别是单位向量。例如，(2, 3) × (-3, -2) = (-32 - 23)i + (-30 - 20)j + (-30 - 21)k = -6i + 0j + 0k = (-6, 0, 0)。

7. 向量的混合积（叉积）：两个向量a和b的混合积定义为a×b×c = (a×b)×c = (a×b)_xc_x + (a×b)_yc_y + (a×b)_zc_z，其中a×b表示a和b的叉积。例如，(2, 3) × (-3, -2) × (1, 1) = (-61 - 01)i + (01 - 61)j + (01 - 01)k = (-6, -6, -6)。

8. 向量的标量积（数量积）：两个向量a和b的数量积定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是它们之间的夹角。例如，(2, 3) · (-3, -2) = |2| |-3| cos(π/4) = 2 3 (√2 / 2) = 3√2。

9. 向量的点积和叉积可以相互转换：如果a和b是单位向量，那么它们的点积等于它们的模长的平方，即a·b = |a|^2 = |b|^2。同样，如果a和b是单位向量，那么它们的叉积等于它们的模长的乘积的一半，即a×b = |a| |b| / 2。

10. 向量的混合积和点积可以相互转换：如果a和b是单位向量，那么它们的混合积等于它们的点积的一半乘以它们的模长的乘积，即a×b = |a| |b| / 2 |a|^2 = |a|^2 |b| / 2。同样，如果a和b是单位向量，那么它们的点积等于它们的混合积的一半乘以它们的模长的乘积，即a·b = |a| |b| / 2 |a|^2 = |a|^2 |b| / 2。