怎么判断是不是全微分方程？两个实用判别准则与应用

判断一个偏微分方程是否为全微分方程，主要依赖于其形式是否满足某种特定条件。以下提供两个实用的判别准则及其应用：

判别准则一：交叉相乘法

判别方法：

1. 将偏微分方程表示为`P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy = 0`的形式。

2. 假设该方程是一个全微分方程，那么存在一个函数`f(x,y,z)`，使得上述方程可以表示为`df = 0`。

3. 根据这一假设，我们有`P(x,y,z) = ∂f/∂x`和`Q(x,y,z) = ∂f/∂y`。

4. 交叉相乘：`P(x,y,z)∂y - Q(x,y,z)∂x`。

5. 如果上述表达式恒等于一个函数`R(x,y,z)`的导数（即`∂R/∂z`），那么原方程就是一个全微分方程。

应用：

考虑偏微分方程`2x^2y dx + (x^2 - 2y^2) dy = 0`。

1. 转换为标准形式：`P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0`，其中`P = 2x^2y`，`Q = x^2 - 2y^2`。

2. 计算交叉乘积：`P∂y - Q∂x = 2x^2 ∂y - (2x∂x - 4y∂y) = 2x^2 - 2x^2 = 0`。

3. 由于交叉乘积恒等于0，这表示该方程不满足全微分方程的条件。

判别准则二：函数变换法

判别方法：

1. 尝试将方程中的某些变量进行替换或转换，以简化方程。

2. 如果方程可以化简为某个函数`z = g(x, y)`的形式，那么该方程就是一个全微分方程。

应用：

考虑偏微分方程`x^2 dy - y^2 dx = 0`。

1. 尝试变量替换，令`y = xv`，则`dy = vdx + xdv`。

2. 代入原方程，得到`x^2(vdx + xdv) - x^2v^2 dx = 0`。

3. 化简后，得到`vdx + xdv - v^2 dx = 0`，即`dx(v - v^2) = 0`。

4. 由于`x`是一个独立的变量，因此`v - v^2 = 0`，即`v = 1`。

5. 代回原变量替换关系，得到`y = x`，这是一个全微分方程。

判断一个偏微分方程是否为全微分方程，可以通过交叉相乘法和函数变换法来进行。交叉相乘法通过计算偏导数的交叉乘积来判断，而函数变换法则通过尝试简化方程来识别。在实际应用中，这两种方法都可以有效地判断偏微分方程是否为全微分方程。