指数对数计算题：10道经典例题解析，掌握解题通法

指数与对数计算题经典例题解析

例题1： 计算 $2^3$

解析： 根据指数的定义，$2^3$ 表示 $2$ 自乘 $3$ 次，即 $2 \times 2 \times 2 = 8$。

答案： $8$

例题2： 计算 $5^{-2}$

解析： 根据指数的定义，$5^{-2}$ 表示 $5$ 的倒数的平方，即 $\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$。

答案： $\frac{1}{25}$

例题3： 求解方程 $2^x = 16$

解析： 由指数的定义，当底数相同且指数式等于一个常数时，指数应相等。$x = \log_{2}{16}$。利用对数表或计算器得 $x = 4$。

答案： $x = 4$

例题4： 求解方程 $3^{2x} = 27$

解析： 同样根据指数的定义，$3^{2x} = 27$ 可以转化为 $3^{2x} = 3^3$。由于底数相同，指数应相等，即 $2x = 3$，解得 $x = \frac{3}{2}$。

答案： $x = \frac{3}{2}$

例题5： 计算 $\log_{2}{16}$

解析： 根据对数的定义，$\log_{2}{16}$ 表示以 $2$ 为底，$16$ 的对数，即 $2^x = 16$，解得 $x = 4$。

答案： $4$

例题6： 计算 $\log_{3}{27}$

解析： 同样根据对数的定义，$\log_{3}{27}$ 表示以 $3$ 为底，$27$ 的对数，即 $3^x = 27$，解得 $x = 3$。

答案： $3$

例题7： 求解方程 $5^{x-1} = 125$

解析： 由指数的定义，$5^{x-1} = 125$ 可以转化为 $5^{x-1} = 5^3$。由于底数相同，指数应相等，即 $x-1 = 3$，解得 $x = 4$。

答案： $x = 4$

例题8： 求解方程 $\log_{4}{x} = 2$

解析： 根据对数的定义，$\log_{4}{x} = 2$ 表示以 $4$ 为底，$x$ 的对数等于 $2$，即 $4^2 = x$，解得 $x = 16$。

答案： $x = 16$

例题9： 求解方程 $3^{x+1} = 81$

解析： 同样根据指数的定义，$3^{x+1} = 81$ 可以转化为 $3^{x+1} = 3^4$。由于底数相同，指数应相等，即 $x+1 = 4$，解得 $x = 3$。

答案： $x = 3$

例题10： 计算 $\log_{5}{25} \times \log_{5}{2}$

解析： 根据对数的乘法定律，$\log_{5}{25} \times \log_{5}{2} = \log_{5}{25} + \log_{5}{2}$，再应用对数的定义，得 $\log_{5}{25} + \log_{5}{2} = \log_{5}{100} = 2$。

答案： $2$