数学一2018解析：真题详细答案与解题思路
数学一2018真题详细答案与解题思路
一、选择题
1. 题目： 若$x \in \mathbb{R}$，则$x^{2} + 2x + 3 \geqslant m$恒成立的一个充分不必要条件是( )
A. $m \leqslant 1$ B. $m \leqslant 2$ C. $m \leqslant 3$ D. $m \leqslant 4$
答案： C
解题思路：
我们要找到$x^{2} + 2x + 3$的最小值。由于这是一个二次函数，且开口向上（系数为正），最小值出现在顶点处。二次函数的顶点公式为$-\frac{b}{2a}$，代入$x^{2} + 2x + 3$得$x = -1$时，$y = 2$。$x^{2} + 2x + 3$的最小值为2。$x^{2} + 2x + 3 \geqslant m$恒成立，则$m \leqslant 2$。但这只是必要条件，充分不必要条件意味着$m$必须小于某个值，但又不能等于该值。选C，即$m \leqslant 3$。
2. 题目： 设$A = \{ x \mid x^{2} - 5x + 6 = 0\} ，B = \{ x \mid x^{2} - ax + a^{2} - 19 = 0\}$，若$B \subseteq A$，则实数$a$的值为____。
答案： $3$或$-2$
解题思路：
首先解方程$x^{2} - 5x + 6 = 0$，得到$A = {2, 3}$。然后考虑$B \subseteq A$，即$B$中的元素必须在$A$中。将$A$中的元素代入$B$的方程，得到两个方程：$4 - 2a + a^{2} - 19 = 0$和$9 - 3a + a^{2} - 19 = 0$。解这两个方程，得到$a = 3$或$a = -2$。
二、填空题
3. 题目： 设$f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$的导数为$f^{\prime}(x)$，若$4f( - 1) + f(2) = 0$，且$f^{\prime}( - 1) = 0$，则$f( - 1) =$____。
答案： $-\frac{3}{2}$
解题思路：
首先求$f(x)$的导数，$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2ax + b$。由$f^{\prime}( - 1) = 0$，得$3 - 2a + b = 0$，即$2a - b = 3$。又因为$4f( - 1) + f(2) = 0$，即$4(-1 + a - b + c) + (8 + 4a + 2b + c) = 0$，简化得$6a + 2c = 0$，即$3a + c = 0$。解这两个方程，得到$a = 1$，$b = -1$，$c = -3$。代入$f(x)$得$f(x) = x^{3} + x^{2} - x - 3$，所以$f( - 1) = -\frac{3}{2}$。
三、解答题
4. 题目： 设$A = \{ x \mid x^{2} - 4x - 5 \leqslant 0\}$，$B = \{ x \mid x \leqslant a$或$x \geqslant a + 3\}$。
(1) 当$a = - 2$时，求$A \cap (\complement_{R}B)$；
(2) 若$A \subseteq B$，求实数$a$的取值范围。
答案：
(1) $A = { x \mid - 1 \leqslant x \leqslant 5}$，$B = { x \mid x \leqslant - 2$或$x \geqslant 1}$。$\complement_{R}B = { x \mid - 2 < x < 1}$。$A \cap (\complement_{R}B) = { x \mid - 1 \leqslant x < 1}$。
(2) $A = { x \mid - 1 \leqslant x \leqslant 5}$。若$A \subseteq B$，则$a \leqslant - 1$且$a + 3 \geqslant 5$，即$- 4 \leqslant a \leqslant - 1$。
解题思路：
(1) 首先求集合$A$和$B$，然后求$B$的补集$\complement_{R}B$，最后求$A$与$\complement_{R}B$的交集。
(2) 根据$A \subseteq B$，列出关于$a$的不等式组，解之得到$a$的取值范围。
5. 题目： 设函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1$。
(1) 求$f(x)$的单调区间与极值；
(2) 设$a, b \in \mathbb{R}$，曲线$y = f(x)$在点$(a, f(a))$处的切线与$x$轴交点的横坐标为$x_{0}$，记$g(a) = x_{0}$，求$g(a)$的表达式，并求$g(a)$的值域。
答案：
(1) $f(x)$的单调递增区间为$(-\infty, 1)$和$(1, +\infty)$，单调递减区间为$(1, 2)$。极小值为$f(1) = -1$，极大值为$f(2) = 1$。
(2) $g(a) = a^{2} - 2a + 3$，值域为$(-\infty, +\infty)$。
解题思路：
(1) 首先求$f(x)$的导数$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 6x$，然后判断导数的符号，确定单调区间和极值点。
(2) 求$f(x)$在点$(a, f(a))$处的切线方程，然后令$y = 0$，解得$x_{0}$，即$g(a)$的表达式。再求$g(a)$的值域。
四、证明题
6. 题目： 设$a, b, c \in \mathbb{R}$，且$a + b + c = 1$。
(1) 证明：$(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) \geqslant 8$；
(2) 当且仅当$a = b = c = \frac{1}{3}$时，$(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) = 8$。
答案与证明：
(1)
证明：
由$a + b + c = 1$，得$a = 1 - b - c$。
然后，根据基本不等式$(a + 1)(b + 1) \geq 2\sqrt{ab + a + b + 1}$，$(b + 1)(c + 1) \geq 2\sqrt{bc + b + c + 1}$，$(a + 1)(c + 1) \geq 2\sqrt{ac + a + c + 1}$。
三式相乘，得$(a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 8\sqrt[3]{\sqrt{ab + a + b + 1} \cdot \sqrt{bc + b + c + 1} \cdot \sqrt{ac + a + c + 1}}$。
进一步化简，得$(a + 1)(b + 1)(c + 1) \geq 8$。
当且仅当$a = b = c = \frac{1}{3}$时，等号成立。
(2)
证明：
由(1)知，当$a = b = c = \frac{1}{3}$时，$(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 8$。
反之，若$(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 8$，则$a = b = c = \frac{1}{3}$。
当且仅当$a = b = c = \frac{1}{3}$时，$(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 8$。
