2018数学一17题：经典题型解析与举一反三

2018数学一17题：经典题型解析与举一反三

2018年的数学一试卷中，第17题是一道引人注目的题目。这道题目不仅考察了学生的基础知识和解题技巧，还考查了学生对数学思维的运用和创新能力。下面，我们将对这道题目进行详细的解析，并通过举一反三的方式，帮助大家更好地掌握这类题目的解题方法和思路。

题目解析

题目：已知函数$f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$的导数为$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2ax + b$，若$x = 1$是$f^{\prime}(x) = 0$的根，且$f( - 2) = 0$，求$a，b，c$的值。

解析：

1. 导数的应用：根据题目给出的$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2ax + b$，我们可以得知$f(x)$的导数形式。

2. 根与系数的关系：由于$x = 1$是$f^{\prime}(x) = 0$的根，代入$f^{\prime}(x)$，得到$3 + 2a + b = 0$，即$2a + b = -3$。

3. 函数值的应用：由于$f(-2) = 0$，将$x = -2$代入$f(x)$，得到$(-2)^{3} + a(-2)^{2} + b(-2) + c = 0$，即$-8 + 4a - 2b + c = 0$。

4. 联立方程求解：将上述两个方程联立，可以得到一个关于$a$和$b$的二元一次方程组。解这个方程组，得到$a$和$b$的值。

5. 代入求$c$：将求得的$a$和$b$的值代入$2a + b = -3$，解出$c$。

举一反三

题型一：导数与函数零点的结合

例题：已知函数$g(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$在$x = 1$处取得极值，且$g( - 1) = 2$，求$a，b，c$的值。

解析：

1. 导数的极值条件：由于$x = 1$是$g(x)$的极值点，所以$g^{\prime}(1) = 0$。

2. 函数值的应用：由于$g(-1) = 2$，将$x = -1$代入$g(x)$，得到$-1 + a - b + c = 2$。

3. 联立方程求解：联立$g^{\prime}(1) = 0$和$g(-1) = 2$，解出$a$，$b$和$c$。

题型二：导数与函数对称性的结合

例题：已知函数$h(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$的图像关于原点对称，求$a$，$b$，$c$的关系。

解析：

1. 函数对称性的应用：由于$h(x)$的图像关于原点对称，所以$h(-x) = -h(x)$。

2. 展开与比较：将$h(-x)$和$h(x)$展开并比较系数，得到$a$，$b$，$c$的关系。

通过对2018数学一17题的详细解析和举一反三，我们可以看到，这类题目主要考察了导数的应用、函数零点和极值点的求解、以及函数对称性的应用。在解题过程中，我们需要灵活运用导数的定义和性质，结合题目给出的条件，建立方程组进行求解。我们还需要注意题目中可能存在的陷阱和干扰条件，确保解题过程的准确性和完整性。通过举一反三的方式，我们可以更好地掌握这类题目的解题方法和思路，提高解题能力和效率。