格林公式简单例题入门：适合新手的3道基础练习题与答案

题目1： 试用格林公式计算曲线∫C (x^2 + y^2)ds，其中C为从点(1,0)到点(0,1)的直线段。

答案：

1. 我们需要确定曲线C的方程。由于C是从点(1,0)到点(0,1)的直线段，其方程可以表示为 y = 1 - x。

2. 接下来，我们确定积分区域D。由于C是连接(1,0)和(0,1)的直线段，D是由直线x = 1, x = 0, y = 0, y = 1所围成的单位正方形。

3. 写出D的边界曲线方程，即 x = 1, x = 0, y = 0, y = 1。

4. 写出被积函数 f(x, y) = x^2 + y^2。

5. 写出D的dxdy形式的面积元素。

6. 应用格林公式，将面积分转换为二重积分：

∫∫D (x^2 + y^2) dxdy

7. 计算二重积分。由于D是单位正方形，其面积为1。∫∫D (x^2 + y^2) dxdy = ∫∫D x^2 dxdy + ∫∫D y^2 dxdy。

8. 由于D是单位正方形，x和y的范围都是0到1，所以∫∫D x^2 dxdy = ∫(0到1) dx ∫(0到1) x^2 dy，∫∫D y^2 dxdy = ∫(0到1) dx ∫(0到1) y^2 dy。

9. 计算得到，∫(0到1) dx ∫(0到1) x^2 dy = 1/3，∫(0到1) dx ∫(0到1) y^2 dy = 1/3。

10. ∫∫D (x^2 + y^2) dxdy = 2/3。

题目2： 试用格林公式计算曲线∫C (x^2 + y)ds，其中C为从点(0,0)到点(2,2)的直线段。

答案：

1. 确定曲线C的方程。由于C是从点(0,0)到点(2,2)的直线段，其方程可以表示为 y = x。

2. 接下来，确定积分区域D。D是由直线x = 0, x = 2, y = 0, y = x所围成的区域。

3. 写出D的边界曲线方程，即 x = 0, x = 2, y = 0, y = x。

4. 写出被积函数 f(x, y) = x^2 + y。

5. 写出D的dxdy形式的面积元素。

6. 应用格林公式，将面积分转换为二重积分：

∫∫D (x^2 + y) dxdy

7. 计算二重积分。由于D是由x = 0, x = 2, y = 0, y = x所围成的区域，其面积为2/3。∫∫D (x^2 + y) dxdy = ∫(0到2) dx ∫(0到x) (x^2 + y) dy。

8. 计算二重积分，得到结果为 10/3。

题目3： 试用格林公式计算曲线∫C (x^2 + 2y)ds，其中C为从点(0,0)到点(2,2)的圆周。

答案：

1. 确定曲线C的方程。由于C是以(1,1)为中心，半径为1的圆周，其方程可以表示为 (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1。

2. 接下来，确定积分区域D。D是由x = 1, y = 1, (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1所围成的区域。

3. 写出D的边界曲线方程，即 x = 1, y = 1, (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1。

4. 写出被积函数 f(x, y) = x^2 + 2y。

5. 写出D的dxdy形式的面积元素。

6. 应用格林公式，将面积分转换为二重积分：

∫∫D (x^2 + 2y) dxdy

7. 计算二重积分。由于D是由x = 1, y = 1, (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1所围成的区域，其面积为π。∫∫D (x^2 + 2y) dxdy = ∫(0到2π) dθ ∫(0到1+cosθ) (x^2 + 2y) rdr。

8. 计算二重积分，得到结果为 (25π/6) + 4。