均匀分布的方差怎么求出来的？两种推导思路详细解析

均匀分布的方差推导

推导思路一：

1. 定义与公式：

均匀分布：在区间[a, b]内，任意一点的取值概率都是相等的。

方差公式：$Var(X) = E[(X - E(X))^2]$，其中E(X)是X的期望。

2. 计算期望：

对于均匀分布，期望E(X)是区间的中点，即$E(X) = \frac{a + b}{2}$。

3. 计算方差：

将期望代入方差公式，得到$Var(X) = E[(X - \frac{a + b}{2})^2]$。

展开并简化，得到$Var(X) = E[X^2] - 2E(X)E[X] + (E(X))^2$。

由于E[X]是常数，所以$2E(X)E[X] = 2(\frac{a + b}{2})^2$。

对于均匀分布，E[X^2]是区间上所有点的平方的平均值，即$E[X^2] = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x^2 dx$。

计算这个积分，得到$E[X^2] = \frac{1}{b-a} [\frac{1}{3}x^3]_{a}^{b} = \frac{1}{3}(\frac{b^3 - a^3}{b-a}) = \frac{1}{3}(b^2 + ab + a^2)$。

将上述结果代入方差公式，得到$Var(X) = \frac{1}{3}(b^2 + ab + a^2) - \frac{1}{4}(b^2 + 2ab + a^2) + \frac{1}{4}(a + b)^2$。

简化后，得到$Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$。

推导思路二：

1. 定义与公式：

均匀分布：在区间[a, b]内，任意一点的取值概率都是相等的。

方差公式：$Var(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$，其中$x_i$是样本值，$\mu$是样本均值。

2. 计算方差：

对于均匀分布，每个样本值x_i在区间[a, b]内等概率出现，即$x_i$可以是a到b之间的任何值。

假设我们取n个样本值，则每个样本值出现的概率是$\frac{1}{n}$。

方差可以表示为$Var(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i - \mu)^2]$。

由于每个样本值x_i在区间[a, b]内等概率出现，所以$\mu = \frac{a + b}{2}$。

将$\mu$代入方差公式，得到$Var(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i - \frac{a + b}{2})^2]$。

展开并简化，得到$Var(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i^2 - x_i(a + b) + \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4})$。

由于每个样本值x_i在区间[a, b]内等概率出现，所以$x_i$可以是a到b之间的任何值，且$x_i^2$的平均值是$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x^2 dx$。

计算这个积分，得到$E[X^2] = \frac{1}{3}(b^2 + ab + a^2)$。

将上述结果代入方差公式，得到$Var(X) = \frac{1}{n} \times n \times (\frac{1}{3}(b^2 + ab + a^2) - \frac{a + b}{2}^2 + \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4})$。

简化后，得到$Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$。

这两种推导思路都给出了均匀分布的方差公式$Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$。这个公式告诉我们，对于在区间[a, b]内均匀分布的随机变量X，其方差是区间长度平方的十二分之一。