二次比二次的函数值域怎么求？判别式法+分离常数法详细步骤
在数学中，求解二次函数的值域是一个常见的问题。二次函数的一般形式为 ( f(x) = ax^2 + bx + c )，其中 ( a )、( b ) 和 ( c ) 是常数，且 ( a eq 0 )。二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由 ( a ) 的符号决定：若 ( a > 0 )，抛物线开口向上；若 ( a < 0 )，抛物线开口向下。二次函数的值域可以通过判别式法和分离常数法来求解。
判别式法
判别式法主要适用于求解二次函数的最值，从而确定其值域。具体步骤如下：
1. 确定二次函数的顶点：
二次函数的顶点坐标为 ( left( -frac{b}{2a}, fleft( -frac{b}{2a} right) right) )。顶点是抛物线的最高点或最低点，这取决于 ( a ) 的符号。
2. 计算顶点的函数值：
将顶点的横坐标 ( x = -frac{b}{2a} ) 代入二次函数中，计算对应的函数值 ( fleft( -frac{b}{2a} right) )。
3. 确定值域：
- 若 ( a > 0 )，抛物线开口向上，顶点是最低点，此时函数的最小值为 ( fleft( -frac{b}{2a} right) )，值域为 ([fleft( -frac{b}{2a} right), +infty))。
- 若 ( a < 0 )，抛物线开口向下，顶点是最高点，此时函数的最大值为 ( fleft( -frac{b}{2a} right) )，值域为 ((-infty, fleft( -frac{b}{2a} right)])。
分离常数法
分离常数法适用于将二次函数转化为一个常数和一个一次函数的乘积形式，从而确定其值域。具体步骤如下：
1. 配方：
将二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 通过配方转化为顶点形式。具体步骤如下：
[
f(x) = aleft( x^2 + frac{b}{a}x right) + c
]
[
= aleft( x^2 + frac{b}{a}x + left( frac{b}{2a} right)^2 - left( frac{b}{2a} right)^2 right) + c
]
[
= aleft( left( x + frac{b}{2a} right)^2 - left( frac{b}{2a} right)^2 right) + c
]
[
= aleft( x + frac{b}{2a} right)^2 - aleft( frac{b}{2a} right)^2 + c
]
[
= aleft( x + frac{b}{2a} right)^2 + left( c - frac{b^2}{4a} right)
]
2. 确定顶点形式的常数项：
顶点形式的常数项为 ( c - frac{b^2}{4a} )。
3. 分析值域：
- 若 ( a > 0 )，抛物线开口向上，顶点形式的平方项 ( aleft( x + frac{b}{2a} right)^2 ) 最小值为 0，此时函数的最小值为 ( c - frac{b^2}{4a} )，值域为 ([c - frac{b^2}{4a}, +infty))。
- 若 ( a < 0 )，抛物线开口向下，顶点形式的平方项 ( aleft( x + frac{b}{2a} right)^2 ) 最大值为 0，此时函数的最大值为 ( c - frac{b^2}{4a} )，值域为 ((-infty, c - frac{b^2}{4a}])。
示例
以二次函数 ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ) 为例，求解其值域。
判别式法：
1. 确定顶点：
[
x = -frac{b}{2a} = -frac{-4}{2 cdot 2} = 1
]
2. 计算顶点的函数值：
[
f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
]
3. 确定值域：
由于 ( a = 2 > 0 )，抛物线开口向上，值域为 ([-1, +infty))。
分离常数法：
1. 配方：
[
f(x) = 2left( x^2 - 2x right) + 1
]
[
= 2left( x^2 - 2x + 1 - 1 right) + 1
]
[
= 2left( (x - 1)^2 - 1 right) + 1
]
[
= 2(x - 1)^2 - 2 + 1
]
[
= 2(x - 1)^2 - 1
]
2. 确定顶点形式的常数项：
常数项为 (-1)。
3. 分析值域：
由于 ( a = 2 > 0 )，抛物线开口向上，值域为 ([-1, +infty))。
通过判别式法和分离常数法，我们得到了相同的结果，即二次函数 ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ) 的值域为 ([-1, +infty))。这两种方法各有优势，可以根据具体情况选择合适的方法来求解二次函数的值域。
