切线长定理怎么用？3步证明+4道经典例题，一学就会

切线长定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了从圆外一点到圆的切线的长度与该点到圆心的距离之间的关系。这个定理在解决许多几何问题时都非常有用，特别是在涉及切线、半径、和点到圆心的距离的情况下。下面，我将详细介绍切线长定理的证明过程，并提供四道经典例题来帮助大家更好地理解和应用这个定理。

切线长定理的内容

切线长定理指出：从圆外一点引到圆的两条切线的长度相等。更具体地说，如果从点P引到圆O的两条切线PA和PB，那么PA = PB。

切线长定理的证明（3步）

1. 作图与标记：

- 设圆O的半径为r，点P在圆外。

- 从点P引两条切线PA和PB，切点分别为A和B。

- 连接圆心O到切点A和B，得到OA和OB。

2. 证明三角形OPA和OPB全等：

- 在三角形OPA和OPB中，有：

- OA = OB（圆的半径相等）

- PA = PB（切线长定理要证明的）

- OP = OP（公共边）

- 根据SAS（边-角-边）全等条件，三角形OPA和OPB全等。

3. 得出：

- 由于三角形OPA和OPB全等，对应边相等，因此PA = PB。

- 这就证明了切线长定理：从圆外一点引到圆的两条切线的长度相等。

经典例题

例题1：求切线长

- 题目：从点P引到圆O的两条切线PA和PB，切点分别为A和B。如果OP = 10，圆的半径r = 6，求切线长PA。

- 解答：

- 根据切线长定理，PA = PB。

- 在直角三角形OPA中，根据勾股定理：

[

PA = sqrt{OP^2 - OA^2} = sqrt{10^2 - 6^2} = sqrt{100 - 36} = sqrt{64} = 8

]

- 切线长PA = 8。

例题2：求圆的半径

- 题目：从点P引到圆O的两条切线PA和PB，切点分别为A和B。如果PA = 8，OP = 10，求圆的半径r。

- 解答：

- 根据切线长定理，PA = PB = 8。

- 在直角三角形OPA中，根据勾股定理：

[

OA = sqrt{OP^2 - PA^2} = sqrt{10^2 - 8^2} = sqrt{100 - 64} = sqrt{36} = 6

]

- 圆的半径r = 6。

例题3：求切线长的平方

- 题目：从点P引到圆O的两条切线PA和PB，切点分别为A和B。如果OP = 13，圆的半径r = 5，求切线长的平方。

- 解答：

- 根据切线长定理，PA = PB。

- 在直角三角形OPA中，根据勾股定理：

[

PA = sqrt{OP^2 - OA^2} = sqrt{13^2 - 5^2} = sqrt{169 - 25} = sqrt{144} = 12

]

- 切线长的平方PA^2 = 12^2 = 144。

例题4：求两条切线的夹角

- 题目：从点P引到圆O的两条切线PA和PB，切点分别为A和B。如果PA = 8，圆的半径r = 6，求两条切线的夹角∠APB。

- 解答：

- 根据切线长定理，PA = PB = 8。

- 在直角三角形OPA中，根据勾股定理：

[

OA = sqrt{OP^2 - PA^2} = sqrt{10^2 - 8^2} = sqrt{100 - 64} = sqrt{36} = 6

]

- 在直角三角形OPA中，根据余弦定理：

[

cos(angle OPA) = frac{OA}{OP} = frac{6}{10} = 0.6

]

- ∠OPA = arccos(0.6)。

- 由于∠APB = 2∠OPA，所以：

[

∠APB = 2 arccos(0.6)

]

通过以上证明和例题，相信大家已经对切线长定理有了更深入的理解。掌握这个定理不仅可以帮助我们解决许多几何问题，还能提高我们的几何思维和解决问题的能力。希望这些内容能够帮助大家一学就会切线长定理！