等比数列中项公式：2个重要推论及例题详解

等比数列中项公式是等比数列中的一个重要概念，它可以帮助我们解决等比数列中的一些问题。我们将详细介绍等比数列中项公式，并给出两个重要推论以及相应的例题详解。

一、等比数列中项公式

等比数列中项公式指的是：在等比数列{an}中，若m、n为任意正整数，且m < n，则an的中项am+n/2满足以下关系式：

an = am+n/2 r^(n-m)

其中，an表示等比数列的第n项，am+n/2表示等比数列的第m+n/2项，r表示等比数列的公比。

二、重要推论

推论一：等比数列中项的性质

在等比数列{an}中，若m、n为任意正整数，且m < n，则am、an、am+n/2构成等比数列。

证明：

由等比数列中项公式可得：

an = am+n/2 r^(n-m)

将am+n/2代入上式，得：

an = am r^(n-m) r^(n/2-m/2)

an = am r^(n/2)

同理，将am+n/2代入an的公式，得：

am+n/2 = an r^(-n/2)

am+n/2 = an r^(-n/2) r^(n/2-m/2)

am+n/2 = an r^(n/2-m/2)

由此可得，am、an、am+n/2构成等比数列。

推论二：等比数列的求和公式

在等比数列{an}中，若m、n为任意正整数，且m < n，则等比数列的前n项和Sn与首项a1、公比r的关系为：

Sn = a1 (1 - r^n) / (1 - r)

证明：

由等比数列中项公式可得：

an = a1 r^(n-1)

将an代入Sn的公式，得：

Sn = a1 (1 - r^n) / (1 - r)

三、例题详解

例题1：已知等比数列{an}的首项a1=2，公比r=3，求第6项a6的中项。

解：由等比数列中项公式可得：

a6 = a3 r^(6-3)

a6 = a3 r^3

由推论一可知，a3、a6、a4构成等比数列，即：

a6^2 = a3 a4

将a6代入上式，得：

(a3 r^3)^2 = a3 a4

a3^2 r^6 = a3 a4

a3 = a4 / r^5

将a3代入a6的公式，得：

a6 = (a4 / r^5) r^3

a6 = a4 / r^2

由等比数列中项公式可得：

a4 = a2 r^(4-2)

a4 = a2 r^2

将a4代入a6的公式，得：

a6 = (a2 r^2) / r^2

a6 = a2

由题意可知，a1=2，公比r=3，所以a2=2 3 = 6。

第6项a6的中项为6。

例题2：已知等比数列{an}的首项a1=1，公比r=2，求前10项和Sn。

解：由等比数列中项公式可得：

an = a1 r^(n-1)

将an代入Sn的公式，得：

Sn = a1 (1 - r^n) / (1 - r)

将a1=1，r=2代入上式，得：

Sn = 1 (1 - 2^10) / (1 - 2)

Sn = 1 (1 - 1024) / (-1)

Sn = 1023

等比数列{an}的前10项和为1023。