指数函数求导详解

本篇内容旨在展示常用函数求导过程的优雅规律，以指数函数为例阐述：

consider 2^t, we explore the beauty of its derivative

根据函数求导原理和指数函数的性质，可得：

d/dt(2^t) = (d/dt)(e^(tln2)) = 2^t ln2

导数公式体现了两个关键规律：
1. 指数函数的导数与自身成正比 (图 1)：斜率始终为 2^t ln2，保持与其函数值成正比。
2. ln2 是一个重要的常数 (图 2)：对于任何底数为 2 的指数函数，导数中总会出现 ln2。
为了进一步探索，我们观察 2^(t+dt)，并将它拆分为 2^t 和 2^dt (图 3)。提取 2^t 后，我们得到：

2^(t+dt) = 2^t 2^dt

设 dt = 0.001，得到：

2^(t+dt) = 2^t (1 + ln2 0.001)

继续减小 dt，结果始终近似于 0.693。那么，这是一个常数吗？
为验证这一点，我们不断减小 dt，发现结果仍然趋向于 0.693 (图 4-6)。
由此，我们可以得出结论：所有指数函数的导数都等于它们自身乘以一个常数 ln2 (图 7)。