有界函数的定义

今晚，我们一起解决考研数学睡前精选题。

第十四题考察有界区间判定方法，这是初等函数必备基础知识，早先在基础班的第一节课重点讲解过。

求解这类题目的步骤：

1. 确定函数定义区间，即函数连续的区间。
2. 根据连续函数有界定理。若函数在闭区间[a, b]上连续，则该函数上有界。若函数在开区间(a, b)上连续，另需判定函数在端点a、b处是否存在单侧极限，若存在，则该函数仍有界。

若区间部分闭合部分开，则只需要判定开区间一侧，因为闭区间一侧函数极限已存在。

我们先确定函数定义区间，即无定义点。

无定义点是分母为零的点，即分母 x^2 - 1 的值等于零，解得 x = ±1。

定义区间被三点 x = -1、0、1 分割为多个区间。

接下来，判断每个区间内的有界性：

1. (-1, 0)：端点 -1 无定义，0 有定义，判断左极限lim_x→0^- f(x)，得无穷大，故无界。
2. (0, 1)：端点 0 无定义，1 有定义，判断左极限、右极限均不存在，故无界。
3. (1, ∞)：端点 1 有定义，且 lim_x→1⁺ f(x) 存在，则该区间有界。
4. {-∞, -1)：端点 -1 无定义，但右极限存在，故该区间有界。

只有选项 (C) 满足题目条件，函数在这个区间内有界。

核心考点在于熟练运用有界区间判定方法，特别是判定单侧极限是否存在。建议回去复习基础班第一节课相关内容。

今天的睡前系列题目就讲到这里，祝大家夜间安睡，明天继续学习。