等比中项的公式_等比中项的定义和公式

在数学的浩瀚星海中，等差数列与等比数列，无疑是最为引人注目的两个星体。

在前一节，我们探索了等差数列的奥秘。

这一节，我们将一同揭开等比数列的神秘面纱。

让我们用熟悉的语言描述等比数列的核心理念。当我们谈论“等比”，其实就是指各项的比值相等。

究竟是哪些数与数的比值相等呢？

从数学的角度看，从第二项开始，每相邻两项之间的比值都保持着同样的值。

这就是等比数列的定义：从第二项开始，每项与它的前一项的比值构成一个恒定的非零数，我们称之为等比数列。

其通项公式如下呈现：

在这里，a1是序列的首项，而q就是那个关键的比值，也就是后一项除以前一项得到的恒定数值。

对于基础等比数列来说，如1、2、4、8、16……这样的序列中，每一项都是前一项的两倍。

如果三个数x、G、y构成等比数列，那么G就称为x与y的等比中项。

若四个数x、G、T、y组成等比数列，则A和B分别作为x与y的等比中项。

关于等比中项的特质，可以总结为：

对于三个数x、G、y构成的等比数列中的等比中项G，以及四个数x、G、T、y构成的等比数列中的等比中项G和T的乘积等于x与y的乘积。

特别值得注意的是，当两个正数只有一个等比中项时，且题目没有特殊要求，这个等比中项可以是正数或负数。

如果两个正数有两个等比中项，那么这两个等比中项必定是正数。

接下来是等比数列的前n项和公式：

这个公式是如何推导出来的呢？

它源于我们后续要学习的错位相减法。

先列出一个完整的等比数列的前n项：

接着将这个式子中的每一项都乘以公比q得到新的式子：

经过上下两式的相减过程后，我们可以发现：上下两式的右边对应相等的两项被抵消掉，其余各项在相减后也消失了。

最终得到式子为：

通过两边同时除以(1-q)，我们就得到了等比数列的前n项和公式。

等比数列与等差数列有着诸多对应的特殊性质。

(1) 在等比数列中，若m+n=p+q时……

(2) 当序列{an}为等比数列且q≠-1或q=-1且n为奇数时……

(3) 如果等比数列具有偶数项时……若其具有奇数项时……

(4) 若{an}和{bn}为相同的等比数列（拥有相同数量的项），则……

这些特殊的性质也是常出现在数学考试中的填空题。

至此，我们已经讲解了关于等比数列的基础知识。