圆锥体积教案_圆锥的体积趣味故事导入

圆锥体积概览：

圆锥的体积计算方式为：底面积×高÷3。

其逆推公式如下：

圆锥的高可通过圆锥体积×3÷底面积来求得，表示为 h=V锥×3÷S。

圆锥底面积则是通过圆锥的体积×3÷高来计算，即 S= V锥×3 ÷h。

同学们容易忽略的是在计算圆锥体积时需除以3，而当逆用公式时，则需要先乘以3。

圆柱与圆锥的切割：

1. 圆柱横切后的切面是圆，其表面积增加的部分是两倍的底面积，即增加的表面积 S 增 =2πr²。

关于圆锥的切割，横切时切面同样是圆。

圆柱与圆锥的体积关系：

当圆柱与圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥的3倍。

当圆柱与圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍。

而当圆柱与圆锥等高等体积时，圆锥的底面积（注意是底面积而非底面半径）是圆柱的3倍。

可以总结出“圆柱为3，圆锥为1，差额为2”的规律，即圆柱体积比等底等高圆锥体积多两倍。

反之，圆锥体积比等底等高圆柱体积要少。

(1) 比例关系：

在等底等高的情况下，圆锥与圆柱的体积比为 V锥:V柱=1:3。

(2) 高度比例：

在等底等体积的情况下，圆锥与圆柱的高度比为 h锥:h柱=3:1。

(3) 底面积与侧面积比例：

在等高等体积的情况下，圆锥与圆柱的底面积比为 S锥:S柱=3:1。

半径变化的影响：

当高度不变时，半径扩大或缩小n倍，直径、底面周长、侧面积也会相应扩大或缩小n倍；而底面积和体积则会扩大或缩小n的平方倍。

最大体积削出问题：

在正方体中削出最大的圆柱和圆锥时，需确保圆柱和圆锥的高及底面直径等于正方体的棱长。这样，圆柱的体积约占正方体体积的78.5%。

在长方体中削出最大的圆柱和圆锥时，需保证圆柱和圆锥的底面直径等于长方体的宽（且宽大于高），这样圆柱和圆锥的高就等于长方体的高。

浸水体积问题解读：

当物体浸入水中时，水面上升部分的体积就等于该物体的体积。这一体积等于盛水容器的底面积乘以上升的高度。

物体体积的计算：

放入物体后的体积变化等于容器底面积乘以水面变化的高度。

等体积转换要点：

当一圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥时，其体积是不变的，这一点需要注意，切勿乘以1/3。

重点讲解：第22页三大题第2题详解：