可导函数不一定是连续的，举个栗子你就明白了！

好的，一个经典的例子是函数 \( f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) 在 \( x = 0 \) 处的修改版：

定义函数 \( f(x) \) 如下：

\[ f(x) = \begin{cases}

x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{if } x \neq 0 \\

0 & \text{if } x = 0

\end{cases} \]

我们来分析这个函数在 \( x = 0 \) 处的情况：

1. 连续性：当 \( x \) 趋近于 0 时，\( x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) 的绝对值被 \( x^2 \) 限制，而 \( x^2 \) 趋近于 0。所以 \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)。又因为 \( f(0) = 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处是连续的。

2. 可导性：计算 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的导数（如果存在）：

\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \]

由于 \( \sin\left(\frac{1}{h}\right) \) 的值在 -1 和 1 之间振荡，但 \( h \) 趋近于 0，所以整个表达式的极限是 0。因此，\( f'(0) = 0 \)，函数在 \( x = 0 \) 处可导，且导数为 0。

3. 导数连续性：现在我们来看 \( f'(x) \) 在 \( x \neq 0 \) 时的表达式：

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \right) = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]

当 \( x \to 0 \) 时，\( 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) 趋近于 0，但 \( -\cos\left(\frac{1}{x}\right) \) 在 -1 和 1 之间振荡，没有极限。因此，\( \lim_{x \to 0} f'(x) \) 不存在，这意味着 \( f'(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不连续。

这个例子展示了函数在某点可导，但其导数在该点不连续，这进一步说明了可导函数不一定是连续的（这里的“不连续”通常指导数函数的不连续性，而不是原函数的不连续性，原函数在此例中是连续的）。但更严格的反例，即原函数可导但本身不连续的例子并不常见，因为可导性通常隐含了函数的连续性。上述例子更准确地说明了可导函数的导数可能是不连续的。如果追求一个“函数可导但其导数在某点不连续”的例子，那么上面的 \( f(x) \) 就是。