可导函数不一定是连续的，举个栗子你就明白了！

当然可以，一个经典的例子是函数 \( f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) 在 \( x = 0 \) 处的行为。这个函数在 \( x = 0 \) 处是可导的，但在该点不连续。

首先，我们定义函数 \( f(x) \) 如下：

\[ f(x) = \begin{cases}

x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{当 } x \neq 0 \\

0 & \text{当 } x = 0

\end{cases} \]

在 \( x \neq 0 \) 的情况下，函数 \( f(x) \) 是连续且可导的。为了验证这一点，我们可以计算 \( f(x) \) 在 \( x \neq 0 \) 处的导数：

\[ f'(x) = 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]

然而，当 \( x = 0 \) 时，情况就不同了。尽管 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的导数存在，但函数在该点并不连续。我们可以通过计算导数的极限来验证这一点：

\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \]

尽管 \( f'(0) \) 存在且等于 0，但 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限并不存在，因为 \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) 在 \( x \to 0 \) 时没有固定的极限值。因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不连续。

这个例子清晰地展示了即使一个函数在某点可导，它在该点也不一定连续。因此，可导函数不一定是连续的。