三角形五心及其性质_平面向量四心结论推导

在浩瀚的高中数学平面向量领域中，我们会遭遇一种特别的名字的题目，那就是需要运用“奔驰定理”来解答的题目。为什么取名为“奔驰定理”呢？那是因为应用此定理所涉及的几何图形，与奔驰车标有异曲同工之妙，故得名“奔驰定理”。

那么，“奔驰定理”会在哪些场合派上用场呢？

当遇到以下两种类型的题目时，你可以考虑是否可以用“奔驰定理”来解决问题：

(1) 当题目涉及到与三角形“四心”（即重心、垂心、内心、外心）相关的内容时；

(2) 当题目现了三角形的面积比值，并且题目条件中包含了向量时。

这两种情况都可以考虑运用“奔驰定理”。

接下来，让我们深入探讨一下“奔驰定理”的两种证路。

奔驰定理的拓展：如果点P不在三角形内部会如何呢？

因为涉及向量，我们可以为面积定义方向。虽然“有向面积”不是向量，但它的正负可以表示方向，内部为正，外部为负。由于我们还没有找到合适的符号来替代，所以暂时使用了向量的符号。

例如，在三角函数的定义中，三角函数线是有向线段，它在x轴上方为正，下方为负。

参考图3，若P为平面内的一点，则:

提示：在需要使用“奔驰定理”的题目中，通常为选择题或填空题。同学们在遇到这类题型时，可以直接使用定理的结论来解答，因为这类题型只需最终答案。

若在大型题目中遇到奔驰定理的应用，可以先简要证明一下“奔驰定理”，然后再使用它。这样，你就能在解题中取得满分。

二、与奔驰定理相关的结论

“奔驰定理”并非孤立的定理，它还有一些其他变式。记住这些变式定理，当遇到相应题型时，可以迅速解答。

(1) 奔驰定理的推论

该定理的含义是相应三角形的面积之比等于对应边向量的系数之比。对于选择题或填空题，直接记住这个结论，然后迅速填写答案。

(2) 由该定理得出的三角形四心向量式

重心：三角形的顶点与对边中点的连线交于一点，这一点被称为三角形的重心。

中心：在正三角形中，其重心、垂心、外心和内心四点重合，被称为正三角形的中心。

奔驰定理实际上是三角形四心向量式的完美结合！

(3) 几何圆中的奔驰定理

该图形与奔驰车标非常相似。在向量的应用下，相应的角和边的关系一目了然。记住这个结论，做题速度将大大提升！

(4) 关于三角形“四心”的向量问题

一．知识梳理：

四心的概念解释：

(1) 重心：中线的交点，它将中线长度分为2：1的比例；

(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；