什么是正定矩阵_矩阵计算的方法
设A是一个实对称矩阵。如果对于任意非零实列向量x，其转置与A的乘积x^T^Ax≥0，那么我们称A为半正定矩阵。
等价条件如下：
- A的半正定性；
- A的所有式均为非负；
- A的特征值均为非负；
- 存在一个n阶实矩阵C，使得A=C^T^C；
- 存在秩为r的r×n实矩阵B，使得A=B^T^B。
请注意，仅凭顺序式非负并不能断定矩阵是半正定的。
补充说明：
1）AA^T是必然的半正定矩阵。
证明：根据上述定义，我们可以推导如下：
X^T^(AA^T^)X = (A^T^X)^T^(A^T^X) = ||A^T^X||^2 ≥ 0
证明成立。
对于tr(AA^T^)，当A为n1的矩阵时，有：
tr(AA^T^) = A^T^A，适用于n1的矩阵A。
举例说明：
假设矩阵A为(1, 2, 3)的转置，即A^T^=(1, 2, 3)。对于任何非零向量x，我们可以计算出x^T^Ax的值。
当A是n阶方阵，且对于任何非零向量x，都有x^T^Ax>0（其中x^T^表示x的转置），那么我们称A为正定矩阵。
正定矩阵的等价条件包括：
- A的一切顺序式均为正；
- A的一切式均为正；
- A的特征值均为正；
- 存在实可逆矩阵C，使得A=C^T^C；
- 存在秩为n的实矩阵B，使得A=B^T^B。
判断实对称矩阵A的正定性有两种主要方法：
- 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的。反之，若特征值均为负数，则A为负定的。
- 计算A的各阶顺序式。若A的各阶顺序式均大于零，则A是正定的。对于奇数阶式为负、偶数阶为正的情况，则判定A为负定。
