圆的表达式_圆的一般方程

听我说，对于小朋友们来说，也许把数学想象成奇妙的动画片会更容易接受哦！

让我们开始思考一下：三角函数，既然是函数，那么它的自变量和因变量是什么呢？

从下面的图示中我们可以清楚地看到，正弦函数其实就是圆意一点的y坐标（红色）与弧长（蓝色）之间的神奇关联。左图的蓝色弧长与右图的蓝线是完全对应的。

弧长与弧度之间有着密切的联系。为何高中老师不选择简单的360度角而介绍稍显复杂的“弧度”呢？这是因为它们之间的对应关系。一弧度就是长度为一个半径的弧所对应的角，而π弧度则正好代表半个圆。sinπ=0的原因就是蓝线完成一个半圆（π）的旋转后，恰好回到了y=0的位置。

至于余弦函数嘛，就留给读者作为一个小小的练习题吧。

关于sin函数和cos函数曲线的由来，其实也相当有趣。余弦函数描绘的是圆上某点的x坐标与弧长之间的特殊联系。当我们在纸上绘制这个函数曲线时，实际上是把圆上的x坐标进行了一定转换，形成了y坐标上的曲线。

提及极坐标的魔法时，你是否感到困惑呢？别急，让我来为你解释。我们需要对函数进行直线y=x的翻转。这是因为极坐标体系中，我们武断地将0度定义为朝右方向。如果从更自然的朝上方向看，这一步就显得不那么必要了。接着，我们将Y轴弯曲直至其成为一个点。这样的操作将直角坐标系中的信息逐渐转移到极坐标的角度上。

让我们来探讨一下正十七边形的尺规作图吧。高斯在19岁时证明了正十七边形可以通过尺规作出，这打破了人们对于正多边形尺规作图的两千年来的认知。他发现，只要正多边形的内角可以用三角函数通过加减乘除和方表达出来，那么这个正多边形就能用尺规作出。高斯证明了边数为费马素数的正多边形都可以尺规作图，因此正十七边形因此而闻名。

至于其他的数学问题如多边形的外角和、对数函数的起源、黄金分割、计算圆面积的方法等等，每一个背后都有其独特的数学故事和美丽曲线等待我们去探索。