抛物线的焦点_y2=2px图像及性质

抛物线与焦点弦的特殊性质：以标准抛物线y²=2px（p＞0）为例，当AB为其过焦点的弦（焦点弦），F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)且A、B在准线上的射影分别为A1、B1时，有以下一系列重要的结论。

(1) 两点的x坐标乘积恒等于p²/4，即x1x2=p²/4；y1与y2的乘积恒为-p²。

(2) 若直线AB的倾斜角为θ，且A位于x轴上方，B位于x轴下方，那么AF的长度|AF|等于p减去cosθ的乘积，而BF的长度|BF|则等于p加上cosθ的乘积。

(3) 弦AB的长度|AB|等于两倍的sinθ乘以p，其中θ为直线AB的倾斜角。抛物线的通径长度是固定的2p，为最短的焦点弦。

(4) 对于特定情况，1/|AF|与1/|BF|的和恒为定值2p。

(5) 以AB为直径的圆与抛物线的准线保持相切状态。

(6) 当以A1B1为直径的圆与直线AB相切时，切点为F；并且有∠A1FB1的角度始终为90°。

(7) A点、O点与B1点三点共线；同理，B点、O点与A1点也共线。

对于接下来的题目及解析：

针对题目中给出的抛物线y²=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点的情况，若|AF|是|BF|的两倍，则通过弦长公式和抛物线的定义可以推导出弦AB的长度为9/2。

再如设抛物线C的方程为y²=3x，过其焦点F且倾斜角为30°的直线与C交于A、B两点时，通过相似的计算方式我们可以得出△OAB的面积为9/4。

对于活用抛物线焦点弦“二级结论”的解题方法，是一种快速且准确求解问题的方法。例如，对于过抛物线y²=2px的焦点F的直线交于点A、B和准线l上的点C的情况，若F是AC的中点且|AF|=4，则利用前述性质可以推导出线段AB的长度为16/3。

再如已知抛物线C的性质和经过其焦点的直线AB时，若向量OA与向量OB的数量积为定值-12，则可以通过联立方程并利用前述性质推导出抛物线C的方程为y²=8x。