函数的极限_函数极限6个定义

高数之微妙极限世界

在高等数学的浩瀚星海中，极限内容是一片繁星闪烁的领域。其中，有两个极限特别容易让人混淆，它们的面貌如此相似，以至于稍不留神就会将它们错认。让我们一同揭开它们的神秘面纱，一探究竟。

我们要面对的是两个极易混淆的极限形式。第一个是众所周知的第一个重要极限，而另一个则是“0乘以有界量型”的极限。

例证一：lim(x→0)(sinx/x) = 1 与 lim(x→∞) (sinx/x) = 0。这两个极限，前者是第一个重要极限的体现，后者则代表了“0乘以有界量型”的特例。前者结果为1，后者结果为0，乍一看这两个求极限的函数似乎毫无二致。它们的自变量走向却截然不同：前者是自变量x趋于0，而后者则是自变量趋于无穷大。这背后所蕴含的学问十分丰富。

一、差异性中的统一性

这两个极限告诉我们，函数的自变量趋于不同的点时，极限可能相同，也可能不同，但通常是不相同的。这体现了数学中的微妙与精妙。

二、深入理解极限背后的逻辑

前者是两个等阶无穷小量的比值，其结果为1。而后者虽然函数形式相似，但其内涵却完全不同。后者实质上是x分之一与sinx的乘积。当x趋于无穷大时，x分之一成为一个无穷小量，但sinx却是一个有界量，其值被限制在-1到1的闭区间内。

这两者涉及到许多关键知识点：等阶无穷小量的比值等于1、无穷大的倒数是无穷小、有界量的概念以及0乘以有界量等于0等。对这些知识的深刻理解是区分这两个极限的关键。

三、实操演练与问题延伸

我们通过一个实例来进一步理解这一知识点：求lim(x→0) (x^2 sin (1/x))/sinx 的极限。通过重组与分解，我们可以看到这个极限实际上是上述两个极限的组合。它的解法体现了当两个极限都存在时，可以将其分解为两个极限的积的形式。也强调了只有在两个极限都存在的情况下，才能进行这样的分解。

文章还以岩洞里的石笋为喻，形容函数的图像，增添了一丝趣味与形象性。