1加到100等于多少_1+2+3+…+n的求和公式

计算：从1²加到100²的结果

首先公布答案：1²+2²+…+n²的求和公式为n(n+1)(2n+1)/6，这是一个现成的结论，可以直接应用。但如何证明呢？

让我们用一个不那么费脑的方法来解释这个问题：数学归纳法。

虽然初中没有正式学习数学归纳法，但我们可以借鉴其思想来进行理解。

证明：1²加到n²的总和等于n(n+1)(2n+1)/6。

当n为1时，这个结论是成立的。

假设当n为某个数时结论成立，即1²+2²+…+n²的值确实等于n(n+1)(2n+1)/6。

那么，当n增加为n+1时，结论同样成立。

这样，我们就证明了该公式。

现在，如果我们不使用这个已知的公式，而是要直接计算1²+2²+…+100²，我们应该怎么做呢？是使用裂项法吗？我暂时没有想到更好的方法。如果有高手，欢迎指点迷津。

要计算这个表达式，其实有一种较为巧妙的构造方法，那就是利用三次方的展开。这种方法在一般情况下不太容易想到，但在这里我们可以记录一下它的运用。

我们知道立方和的展开公式为：(x+y)³=x³+3xy²+3x²y+y³。由此，我们可以推导出以下的关系：

对于(x+1)³和x³的差值展开后为：3x²+3x+1，于是我们有：

当x为各个连续整数的平方时，其相邻整数的立方之差为我们构造出的项相加形式。如2³-1³，3³-2³等等，这样的关系不断扩展至更高次方的数。

将这些差值相加后得到：(n+1)³-1=3(1²+2²+…+n²)+3(从1加到n的和)+n。

我们注意到右边的3(从1加到n的和)部分与等差数列的求和公式有关，而这个公式我们可以通过倒序相加的方法轻松推导出来：即1加到n的和等于n(n+1)/2。

代入上述公式中，我们就可以得到一个可以直接使用的公式来计算从1²加到任意整数的平方和。当我们要计算n=100时的结果时，这个公式就非常有用。