初一数学因式分解公式大全_十字相乘法公式

一、十字相乘法详解

观察以下两个数学表达式：

1. （x＋p）（x＋q） = x² + px + qx + pq = x² + （p＋q）x + pq

2. （ax＋b）（cx＋d） = acx² + adx + bcx + bd = acx² + （ad＋bc）x + bd

若我们将上述表达式的顺序颠倒，即可得到关于x的二次三项式的因式分解。

例如：

1. x² + （p＋q）x + pq 可以分解为 （x＋p）（x＋q）。

2. acx² + （ad＋bc）x + bd 可以分解为 （ax＋b）（cx＋d）。

这种分解方法的关键在于观察到公式左边的二次项系数和常数项均为两个有理数的乘积，而一次项系数则是这两对有理数交叉相乘再相加的结果。我们将其称为十字交叉相乘法。

【例】因式分解：

1. 3x² - 5x + 2 = (3x - 2)(x - 1)；

2. m² - mn - 12n² = (m + 3n)(m - 4n)；

3. (a² + a)² - 8(a² + a) + 12 = (a - 1)(a + 2)(a - 2)(a + 3)。

请注意：分解因式时，一定要彻底分解，直至无法再分为止。

二、配方法的应用

在某些多项式中，若常数项数值较大，使用配方法进行分解可能会更为简便。

【例】因式分解：

1. x² - 100x + 2304 = x² - 2×50x + 50² - (50² - 2304) = (x - 50)² - 196 = (x - 50 + 14)(x - 50 - 14) = (x - 36)(x - 64)。

对于上述例子中的配方法，当多项式中常数项数值较大时，我们通常先进行配方，将其转化为两个平方的差的形式，然后利用平方差公式进行分解。

【继续例】使用配方法分解因式：

1. m² - 140m + 4875 = m² - 2×70m + 70² - (70² - 4875) = (m - 70)² - 25 = (m - 70 + 5)(m - 70 - 5) = (m - 65)(m - 75)；

2. 对于9a² - 6a - 325，我们可以先将其转化为平方的形式进行分解。

配方法在处理常数项较大的多项式时尤为有效，通过配方，我们可以更容易地识别并应用平方差公式，从而简化分解过程。