偏导数公式大全_二阶偏导数公式详解

微分学之旅：从导数到高阶导数

初涉微积分，导数无疑是绕不过的数学概念。我们试着理解一下导数的定义：导数，其实就是描述函数在某一点的变化率。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量增量的比值的极限，就是这种变化的数学表达。当一个函数存在导数时，我们说这个函数是可导的，或者说可微分的。

有的同学从物理学的角度认识微积分，认为导数对于位移方程而言，就如同速度一般，二阶导数则对应着加速度。无论是哪种定义，它们都在描述着极限的概念。

在学习过程中，常有人将微积分与“动态”、“极限”这样的概念相联系，从而产生了“结果极限近似”的误解。实际上，我们常常使用极限的方法去理解和证明它，但结果并不总是近似。比如微分与积分就是曲线在不同空间维度上的互逆转换，它们是等价的。导数亦然。

以一个简单函数的求导为例，考虑函数f(x)=x^2。有些人可能会疑惑，是不是因为那个被略去的无穷小Δx而导致了导数是极限近似的观念？下面我们逐步剖析。

为了更好地理解，我们先假设0是可以被除的（重要的事情说三遍：假定！假定！假定！），在曲线y=x^2上取任意一点对应的x值。在这个特定点上，不论我们是向左还是向右移动，它在平面坐标轴上的变化都可视作0。那么，我们是否可以直接得出导数的结果呢？

基于“0可被除”的假定，我们可以这样想：对于任何连续的函数曲线f（x，y）=0，我们可以单独描述任一点的空间状态。这种描述就是该点的导数f'(x)。若需要量化这一点，我们给予它一个无穷小的自变量Δx，所得结果即为微分f'(x)Δx。导数f'(x)与微分f'(x)Δx是曲线一点的一体两面，前者描述状态，后者量化尺度。

关于f（x，y）=0的补充说明是必要的。当我们谈论y=x^2时，其实是在谈一个曲线。如果f（x，y）≠0且我们进行一些变换，例如x^2-y=z或x^2-y-z=0等，我们可以得到f（x，y，z）=0或f（x，y，z，w）=0等更高维度的曲面或曲体。

那么什么是导函数呢？想象你观察一个原子内部的小宇宙，在曲线空间的某一点上开拓出新的曲线空间就是导函数的过程。而求高阶导数则是在层层嵌套的曲线空间中继续开拓，直到开拓出一个常数空间为止。

偏导数的理解虽然稍难一些，但原理是相同的。无论是对曲面、曲体还是超曲体求导，都是要压缩掉一个空间维度来描述其空间状态的变化。例如对曲面f（x，y，z）=0求偏导数就是描述曲面上每条曲线的空间状态。因为曲面有两个方向的自变量x和y，所以我们取其横竖垂直交叉的两条曲线来分别求偏导数。

再如曲面函数z=x^2y^2（它的形状像是一个窄口高杯子），对其求偏导数时就是在描述其空间状态的变化规律。同理对于曲体或其他高维度的空间对象进行微分分析时都是如此：我们通过考虑其在各个方向上的变化来了解其全貌的空间状态和变化规律。