椭圆焦半径公式推导

MPC控制算法，全称Model Predictive Control（模型预测控制），是一种以系统动态模型为基础的先进控制技术。其核心原理是通过构建数学模型来预测系统的未来行为，并基于这些预测结果优化系统的控制输入，从而实现预期的输出效果。

MPC算法的精髓在于其预测模型，这个模型能够根据系统的当前状态信息预判未来的系统状态。预测模型的形式灵活多变，可以是状态空间方程、传递函数、阶跃响应模型、脉冲响应模型或是模糊模型等，具体形式的选择取决于被控对象和所需预测的状态特性。

TinyMPC是一款专为凸模型预测控制打造的开源求解器，能够在有限的内存占用下提供高速计算。TinyMPC采用C++语言实现，具有极低的依赖性，非常适合资源受限平台上的嵌入式控制和机器人应用。该求解器不仅可处理状态和输入边界，还能应对二阶锥约束。它还提供了Python、Julia和MATLAB接口，便于为嵌入式系统生成代码。

TinyMPC的存在有效地弥合了计算密集型凸模型预测控制与资源有限的处理平台之间的鸿沟。将其集成至计算能力不足的机器人中，可使它们执行灵敏的操作并展现出安全的行为。

TinyMPC的运行速度非常快，每个时间步长都能重新线性化约束，使其能够推理移动障碍物的行为。在虚拟场景中，左侧的球体在每个时间步长都会被线性化为一组新的超平面约束。该算法还能处理任意数量的任意线性约束，如在右侧示例中，它在停留在yz平面时能够避开障碍物。

TinyMPC具备出色的恢复能力，即使从极端初始条件下也能迅速恢复。在此示例中，与Crazyflie 2.1的三个标准控制器相比，只有TinyMPC能够推断出控制极限并执行流畅的恢复操作。

在比较相同库存控制器完成不可行的快速8字形任务时，TinyMPC与PID都能保持直立，但TinyMPC的轨迹更接近标准的8字形。

微控制器性能测试

在微控制器性能测试中，TinyMPC在速度和内存占用方面均超越了最先进的求解器。我们对随机生成的基于QP的MPC问题进行了求解，并与OSQP在迭代时间和内存占用方面进行了比较。TinyMPC的最大速度提升可达OSQP的8倍，且内存占用大幅减少。

TinyMPC现已支持处理圆锥约束！在（b）的比较测试中，我们将TinyMPC与两个具有嵌入式支持的圆锥求解器（SCS和ECOS）用于火箭软着陆问题。TinyMPC实现了在SCS上平均速度提升13倍，在ECOS上平均速度提升高达137倍的优异成绩。

对于实时控制而言，求解器需在严格的时间窗口内返回解决方案。在火箭软着陆问题的比较中，我们人为地改变了每个求解可用的时间量。在所有控制持续时间下，TinyMPC的违反约束更少，轨迹误差也低于SCS和ECOS。

特别感谢算法贡献者们：

GitHub - TinyMPC/TinyMPC: 为微控制器提供的模型预测控制解决方案