克莱姆法则求解方程组

关于x和y的二元一次方程组的解析：

我们面对的是一个包含两个未知数x和y的方程组。其基本形式如下所述：

通过运用基本的加减法技巧，我们可以轻易地找到它的解，解的形式如下：

这便是二元一次方程组的求根公式。只需将已知数值代入，即可迅速计算出x和y的具体数值。

为了方便记忆，我们可以用二阶行列式来表示上述的求根公式：

示例1：让我们来看一个二元一次方程组的实例：

利用行列式的表示方法，我们可以轻松地推导出求根公式。具体步骤如下：

(1) 分母D是x和y的系数行列式，只需按照原方程组中的次序排列即可。

(2) 对于x的分子，只需将D中x的系数项替换为常数项系数。

(3) 同样地，对于y的分子，只需将D中y的系数项替换为常数项系数。

示例2：再来看一个求解四边形面积的例子：

求出问号四边形的面积，我们只需作出辅助线，将四边形面积分割为两个三角形面积x和y。列出二元一次方程组求解，问号处的面积即为x+y。

面对三元一次方程组，我们可以通过消元法来处理。选择任意两个已知方程，运用加减法消去一个未知数。然后再将其中一个方程替换为第三个未知数的方程，继续消去同一个未知数。这样就能得到两个新的二元一次方程组。

示例3：解决下面的三元一次方程组：

对于四元一次方程组的求解，我们采用类似的公式解法。

n阶行列式是由取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和组成。当逆序数为偶数时带正号，逆序数为奇数时带负号，总共有n!项。

四阶行列式的展开包含24项，可以视为四个三阶行列式的代数和。

而三阶行列式则可以展开为三个二阶行列式的代数和。

举个简单的推广例子，我们把多元一次方程组的求根公式进一步发展，就得到了克莱姆法则。

行列式是数学中的重要工具，线性代数是高级数学的一部分。考虑到初中生的接受程度，这里只做了非常基础的介绍，帮助我们掌握线性方程组的解法和求根公式。

关于行列式的更深入概念，详见下图。

也称为对角线法则。

资料来源于《数学辞海·第一卷》。

值得一提的是，几何题中三点共线的证明会用到行列式。三点共线的必要条件是下图所示的行列式的值为零。