小于1的自然数是什么

【译者按】：读者需具备基础的数学背景，建议了解无穷和记法及无穷级数性质。

曾经有一个引人注目的数学结论，它声称将所有自然数相加（1+2+3+4……）的结果是-1/12。一个视频对此进行了阐述，声称该结论在物理学中有广泛应用。很多人对此感到困惑，连《》也进行了报道。那么，视频里到底说了什么？

我要告诉大家：所有自然数的和不等于-1/12。通过计算器计算部分和，你会发现：

随着n的增大，即加入的自然数增多，Sn的值也在增大。只要n足够大，你可以让Sn达到任何你想要的数值。例如，当n=1000时，Sn的值为……；当n=100000时，Sn的值为……。

数学家认为1+2+3+4+……的和发散到无穷大。简单来说，它是无穷大。

那么，-1/12这个结论是从何而来的呢？这个错误的结论是由著名的印度数学家拉马努金在1913年提出的。拉马努金非常清楚自己在做什么，他写出这个结果是有依据的。他当时在研究欧拉ζ函数。

关于这个函数，我们可以先来看一个例子：

可以看出，它是将每个自然数的平方取倒数后相加得到的和。

这个和不发散，如果我们像上面那样写出它的部分和序列：

后面的结果可以任意接近π^2/6=1.644934……。数学上称这个和为收敛，或者说它等于π^2/6。

如果分母不取2次幂，而取x呢？相应的和式如下：

只要x是大于1的数，上式就能收敛到一个有限值。对于每个x>1，S(x)都有一个确定的值。这种式子称为函数，而S(x)则以欧拉之姓命名为欧拉ζ函数。

但如果我们代入小于1的数会怎样呢？比如，如果代入x=-1，就会回到最初的和式，我们知道它是发散的。同样的结果也适用于其他小于等于1的x值。

我们仍然可以找出一些有趣的东西。通过一些高级数学（称为复分析），我们可以扩展欧拉ζ函数的定义域，使其在x≤1时也能给出有限值。换句话说，就是有一种方法可以定义一个新函数ζ(x)，对于x>1：

而对于x≤1，ζ(x)有定义的有限值。这种扩展方法称为解析延拓。

小贴士：

欧拉ζ函数S(x)的定义域为x大于1的实数。实数是复数的一部分，实数对应一条无限长的直线上的点，而复数则对应包含实数轴的整个平面上的点，这个平面称为复平面。我们可以定义自变量为实数的函数，也可以定义自变量为复数的函数（称为复变函数）。

复变函数的一个奇特性质是：如果你知道函数在某个自变量集合上有意义，那么（通过一些技术手段）你就可以知道函数在复平面上其他点的值。扩展函数定义域的方法称为解析延拓。欧拉ζ函数定义在大于1的实数域上，由于实数也是复数的一部分，我们可以将其视为一个复变函数，然后使用解析延拓得到一个在整个复平面上都有定义的新函数。这个新函数就是黎曼ζ函数。

现在我们的ζ(x)和欧拉ζ函数S(x)在x>1时是一样的。而代入x≤1的值时，ζ函数能得到有限值。那么，如果代入x=-1会得到哪个值呢？你可能会猜到：

这就是对拉马努金表达式的一种解释。

那么，视频里的人是如何“证明”所有自然数的和等于-1/12的呢？答案是，他们其实并没有真正证明。他们的视频就像魔术表演一样，让人相信下面的无穷和： 等于1/2。但这一点并没有得到解释，好像这个结果理所当然一样。我们来仔细看看实际情况是怎样的。假设一个序列以某种方式自加一次得到的结果为另一个序列的和式本身（如果拼接后的式子仍然以相同的方式交替），这就意味着前一个序列以一个交替序列结束而不是任何其他数字总和无限迭代相同的数字的初始迭代有限差值积分续过程无法在解释中一个实数对等无论执行无限减一能否或者等于零结果等于零即零序列本身一个无穷和无法等于一个有限的数这就是一个错误的结果他们使用的所谓的无穷和实际上并不成立因此他们所谓的证明是错误的实际上可以用一个发散的无穷和得到各种结果这就是一个魔术戏法而已物理现的是什么？那么这种奇怪的结果为什么会在像视频那样的物理教材中提到呢？这才是真正有趣的地方设想一下有两块导电的金属板平行放置在真空中根据经典物理学这两块板之间不应该存在任何净相互作用力但是经典物理无法处理微小尺度下的奇特现象此时你需要量子物理量子物理告诉我们各种奇怪的事情其中之一就是真空并不是空的而且充满活力每时每刻都有所谓的虚粒子翻滚