单纯形法求解线性规划问题例题

线性规划概述

在运筹学领域，一个重要分支名为线性规划，它的历史与哪些人物紧密相连呢？

提及康托洛维奇和丹捷格两位著名人物，便不得不谈及线性规划的起源与演进。康托洛维奇在1939年发表的《生产和计划中的数学方法》便展现了其运筹学的先驱性思考。特别是在1960年，他通过《最佳资源利用的经济计算》一作再次为世人所瞩目。此后，他与T. C. Koopmans共同获得了1975年的经济学奖。

而在1947年，G. B. Dantzig在空军军事规划的研究中提出了线性规划的具体模型及单纯形解法，这立刻引起了Koopmans等著名经济学家的关注。这一系列的发现和进步共同构成了线性规划的基石。

关于线性规划模型的理解

线性规划模型的三要素是资源向量b、价值向量c以及系数矩阵A（通常假设A为满秩）。其中，资源向量代表稀缺资源的种类及其限制；价值向量则反映了单位产品所创造的收益或成本；而系数矩阵则具体体现了现有生产技术、工艺和管理水平。这三个要素的确定，即意味着一个线性规划模型的构建。

经济学家们为何重视线性规划模型？简而言之，它对于解决经济学核心问题——资源有效配置——具有重要价值。它不仅为宏观和微观经济研究提供了有效的解决方案，还为经济学家提供了解决资源优化配置的新思路。线性规划在企业的多个管理领域中，如运作管理、物流管理、财务管理等，都发挥着科学决策支持的作用。

深入理解线性规划的标准形式

线性规划的标准形式具有三个显著特点：其一，所有约束条件均为等式；其二，等式约束的右侧常数项为非负；其三，所有变量均需取非负值。这一标准形式是线性规划问题表述的规范和基础。

转化过程中的注意事项

将线性规划的一般形式转化为标准形式时，需注意两点。当某一约束条件为“≤”或“≥”的不等式时，需要通过添加或减去非负松弛变量的方式来调整；若某变量不满足非负约束条件时，则需要通过替换一到两个非负新变量来确保所有变量均满足非负要求。

关键概念解析

可行解是满足所有约束条件的解；可行域则是所有可行解的集合。而最优解则是使目标函数值达到最优的可行解。

在数学术语中，基是由系数矩阵A中线性无关的列向量构成的可逆方阵；而构成基的列向量则被称为基向量。