几何形体组合法求解的三个步骤

你还有印象吗？赵爽弦图作为历史悠久的数学工具，在我们曾学习勾股定理时有所提及。此图即为外弦图，形象展示于眼前。

该图构造由四个完全相等的直角三角形及一个小正方形巧妙组合，共形成一个完整的大正方形。那么，若四个相同的矩形和一个小正方形是否能构造出更大的正方形呢？

将目光移至这幅图的上方，我们可以发现若在大正方形的外部额外添加四个直角三角形，便可构成另一幅图形。

如果我们移除内部那四个锐角三角形，则图形呈现出毕达哥拉斯弦图的姿态，也就是说这实质上是大方图与内弦图的交融体现。如果我们抹去连接每个角点的“弦”，就能清楚地看到由四个全等的矩形及小正方形构建出的正方形图样。

对于这样一个图像布局，我们接下来尝试运用其来解答一元二次方程。例如，我们来看方程x(x+6)=16。

图中每个矩形的长为x+6，宽为x。

根据几何关系，大正方形的面积由四个矩形的面积和小正方形的面积共同组成。

计算后得到(2x+6)的平方等于四个矩形的面积总和加上小正方形的面积。

代入已知方程后，得到(2x+6)的平方等于100。

经过简单推导，得出2x+6等于10，进一步推得解为x等于2。

让我们再看一个实例：当考虑一元二次方程的另一个形式x(x+6)=16时。

先展开括号得x的平方加6x等于16。

方程左侧可以与这幅图相对应，即可以通过增加一个小正方形以补全右下方一个空间的方式来得到大正方形的构图。

大正方形的面积就是两个正方形面积及两个矩形面积的总和。

同样代入方程，可以得到(x+3)的平方等于25。

按照这个结果推导下去，我们得到x+3等于5，即解为x等于2。

几何法在解一元二次方程中提供了新的视角，使抽象的方程变得形象化。通过将方程转化为具体的图形形式，有助于我们更深入地理解数形结合的思想。虽然其唯一的小瑕疵是因矩形和正方形的边长均为正数，故其解亦只限于正数范围内。

但值得一提的是，利用这些几何图形作为媒介进行配凑操作后，无论我们是从其几何形态上理解还是单纯提取代数形式进行后续求解，都使得我们可以将这种方法应用于任意一元二次方程的求解中。